Question

FATORIAIS:
Faça um pequeno resumo sobre Fatoriais ( ! )
- O que é?
- Para que serve?
- Como fazer?
- Dê um exemplo.

- Simplifique a expressão:
a) (N+1)!     =72
   (N-1)!      

Answer 1

O que é fatorial ?
R- É uma multiplicação dada por um número NATURAL n pelo seu antecessor.
Para que serve fatorial ?
R-Em muitas situações do dia-a-dia precisamos saber o quanto determinados fenômenos irão ocorrer de maneiras diferentes, ou repetidas. O fatorial é utilizado (em muitos casos, para não dizer todos) para resolver problemas de contagem (posteriormente, no ensino superior, você terá uma abordagem dele no âmbito de simplificação/aproximação de algumas igualdades, um exemplo que posso te dar nesse sentido seria  a série de Taylor e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+⋯,-∞ ).

Como fazer o fatorial ?
R-Baseado no conceito apresentado podemos escrever a forma geral do fatorial da seguinte maneira: n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)* ... 3*2*1.

Exemplo

9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362880 (só multiplicação)
8!=8*7*6*5*4*3*2*1=40320
5!=5*4*3*2*1=120
3!=3*2*1=6
Observações importantes:
1!= 1
0! = 1

**Uma aplicação importante do fatorial também seria na simplificação das expressões do tipo: (a+b)^n , ela também é conhecida como Binômio de Newton e pode ser escrita (a+b)^n=a^n + (n*a^(n-1)*b)/1! + (((n*(n-1))*a^(n-2)*b^2)/2! + ... .

Vamos agora resolver seu exercício.
a) (n+1)!  =72
    (n-1)!    

(n+1)!  = (n+1)*n*(n-1)!  =  7 2       (simplificando (n-1)!) 
 (n-1)!              (n-1)!  


(n+1)*n=72 -->  n² + n -72=0 , aplicando a fórmula de Baskhara temos como valores de n, n=8 ou n=-9, por definição (veja o que é fatorial) temos que fatorial deve ser um número natural assim: n=8.

**Não consegui escrever perfeitamente a fórmula de Taylor ou Binômio de Newton, tentei usar a linguagem do programa mas não deu certo, espero que você consiga entender elas.