Question

(FAFEOD-MG) Considere os polinômios, P(x) = 5x5 + ax3 + bx2 + 3x + 250, Q(x) = x-2 e T(x) = 5x4 +cx3 + dx2 + kx + 375, sendo a, b, c, d e k constantes reais. Se o quociente da divisão de P(x) por Q(x) é T(x), então o resto dessa divisão é igual a:

a) –850 b) –500 c) 750 d) 1.000

Answer 1

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•   $\mathsf{P(x)=5x^5+ax^3+bx^2+3x+250}$

•   $\mathsf{Q(x)=x-2}$

•   $\mathsf{T(x)=5x^4+cx^3+dx^2+kx+375}$


Temos que

$\mathsf{Q(x)}$ é de grau 1, e sua raiz é $\mathsf{x=2.}$ Logo, podemos usar o dispositivo de Briot-Ruffini aqui


Dividindo $\mathsf{P(x)}$ por $\mathsf{Q(x)},$ usando o dispositivo:

(ver figura em anexo)


Como o quociente desta divisão é o polinômio $\mathsf{T(x)},$ por identidade polinomial, devemos ter

$\mathsf{80+4a+2b+3=375}\\\\ \mathsf{4a+2b=375-80-3}\\\\ \mathsf{4a+2b=292\qquad\quad(i)}$


Mas temos também que

$\mathsf{P(2)=Q(2)\cdot T(2)+R(2)}\\\\ \mathsf{P(2)=0+R(2)}\\\\ \mathsf{P(2)=R(2)}\\\\ \mathsf{5\cdot 2^5+a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+3\cdot 2+250=R(2)}\\\\ \mathsf{R(2)=160+8a+4b+6+250}$

$\mathsf{R(2)=8a+4b+416}\\\\ \mathsf{R(2)=2\cdot (4a+2b)+416\qquad\quad(ii)}$


Substituindo $\mathsf{(i)}$ em $\mathsf{(ii)},$ obtemos

$\mathsf{R(2)=2\cdot 292+416}\\\\ \mathsf{R(2)=584+416}\\\\ \mathsf{R(2)=1\,000}\qquad\quad\checkmark$


Veja que $\mathsf{R(x)}$ é um polinômio de grau zero (o grau de $\mathsf{R(x)}$ é menor que o grau do divisor $\mathsf{Q(x)}$)


Então,

$\mathsf{R(x)=R(2)=1000}$


Resposta:   alternativa d) 1000.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Primeiramente, vamos realizar a divisão do polinômio P(x) pelo Q(x):

P(x) = 5x5 + ax3 + bx2 + 3x + 250 ; Q(x) = x-2 

Há dois modos de resolver: dividindo normalmente ou pelo método de Briot-Ruffini:

 Vou resolver pelo segundo método citado: 

       | 5     0         a              b                  3                250
     2| 5    10    (20+a)   (40+2a+b)   (83+4a+2b)   (416+8a+4b)

Logo, o quociente é:

Z(x) = 5x^4+10x^3+(20+a)x^2+(40+2a+b)x+(83+4a+2b)

O resto no caso é:

r(x) = (416+8a+4b)

Como o enunciado diz que o quociente dessa divisão é igual ao polinômio T(x), temos que:


 5x^4+10x^3+(20+a)x^2+(40+2a+b)x+(83+4a+2b) =  5x4 +cx3 + dx2 + kx + 375

Como se trata de um igualdade, podemos dizer que:

10x^3 = cx^3 ⇒ c = 10

(20+a)x^2 = dx^2 ⇒ a = d - 20

(40+2a+b)x = kx ⇒ k = 40+2a+b

(83+4a+2b) = 375 ⇒ 4a+2b = 292

O resto é

r(x) = (416+8a+4b)

Se formos analisar, veremos que:

4a+2b = 292
8a+4b = 584

Assim, basta substituir e teremos o resultado:

r(x) = 416+584

r(x) = 1000