Question

Faça o que se pede e responda à pergunta:
(a) No triângulo ABC ao lado, o ponto D divide AB e o ponto E divide BC na mesma razão r (r ≠ 0). Mostre que DE // AC e calcule |DE|/|AC|.
(b) Sejam v = xi + 2j + 4k e w = xi -2j +3k, x ∈ R. O vetor v é ortogonal a w? Justifique.
(c) Calcule |v| - |w|.

Obs.: Esta anexado a foto do triângulo referido ao enunciado da letra (a)

Answer 1

a)
Como D divide AB na razão r e E divide CB também na razão r,
$\displaystyle\frac{AD}{DB} = \frac{CE}{EB} = r$

Obtém-se o vetor $\displaystyle\overrightarrow{DE}$ a partir de $\displaystyle\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BE}$

Obtém-se o vetor $\displaystyle\overrightarrow{AC}$ a partir de $\displaystyle\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$

Mas $\displaystyle\overrightarrow{AB}$ = $\displaystyle\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}$
Como
$\displaystyle\frac{AD}{DB} = r$
É possível fazer
$\displaystyle\overrightarrow{AD} = r\overrightarrow{DB}$, já que possuem o mesmo sentido e direção (pertencem à mesma reta)
$\displaystyle\overrightarrow{AB}$ = $\displaystyle(1+r)\overrightarrow{DB}$

E também $\displaystyle\overrightarrow{BC}$ = $\displaystyle\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{EC}$
Como
$\displaystyle\frac{EC}{BE} = r$
É possível fazer
$\displaystyle\overrightarrow{EC} = r\overrightarrow{BE}$, já que possuem o mesmo sentido e direção (pertencem à mesma reta)
$\displaystyle\overrightarrow{BC}$ = $\displaystyle(1+r)\overrightarrow{BE}$

$\displaystyle\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BE}$
$\displaystyle\overrightarrow{AC}=(1+r)(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BE})$
$\displaystyle\overrightarrow{AC}=(1+r)\overrightarrow{DE}$
DE x AC = (1+r) (DE x DE) = 0 (Produto vetorial entre vetores iguais). Logo DE//AC.

$\displaystyle\frac{||DE||}{||AC||}=\frac{||DE||}{||(1+r)DE||}=\frac{1}{1+r}$

b)
v é ortogonal a w se, e somente se, v.w = 0. Portanto,
v.w = x² - 4 + 12 = 0
x² = - 8
x = ±2i√2
Logo, v é ortogonal a w se, e somente se, x = ±2i√2, como x ∈ R, então v, nesse caso, jamais será ortogonal a w.
c)
|v| = $\displaystyle\sqrt{v.v} = \sqrt{x^{2}+2^{2}+4^{2}}$
|v| = $\displaystyle\sqrt{x^{2}+20}$
|w| = $\displaystyle\sqrt{w.w} = \sqrt{x^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}$
|w| = $\displaystyle\sqrt{x^{2}+13}$
Logo
|v| - |w| = $\displaystyle\sqrt{x^{2}+20} - \sqrt{x^{2}+13}$