Question

Existe uma maneira de calcular a ocupação de cada galpão, utilizando a matriz D das demandas, que corresponde à resposta da questão “b” da ETAPA II. Para isso, primeiramente, é preciso calcular os autovalores da matriz D. Depois escolha o autovetor que corresponde ao autovalor mais alto dentre os autovalores calculados. Divida cada coordenada do autovetor pela soma de suas coordenadas. Os valores encontrados vão corresponder à ocupação dos galpões, respectivamente, do Galpão A, do Galpão B e do Galpão C. a) Calcule os autovalores da matriz D. b) Apresente o autovalor de valor mais alto. c) Apresente o autovetor do autovalor calculado em “b”. d) Calcule as ocupações de cada galpão.

Answer 1

Resposta:

a) Calcule os autovalores da matriz D: 1, 3+√3, 3-√3

b) Apresente o autovalor de valor mais alto: 3+√3

c) Apresente o autovetor do autovalor calculado em “b": (1+√3, 1+√3, 1)

d) Calcule as ocupações de cada galpão: Galpão A: (3-√3)/3, Galpão B: (3-√3)/3, Galpão C: (-3+2√3)/3

Answer 2

a) Os autovalores da matriz D são 1, 3 + √3 e 3 - √3;

b) O autovalor de valor mais alto é o 3 + √3;

c) O autovetor do autovalor 3 + √3 é (1 + √3, 1 + √3, 1);

d) A ocupação do Galpão A é de (3 - √3)/3. a ocupação do Galpão B é de (3 - √3)/3. A ocupação do Galpão C é de (2√3 - 3)/3.

Autovalores

Primeiramente precisamos da matriz D da questão "b" da ETAPA II, que segue:

$D = \left[\begin{array}{ccc}2&2&2\\1&3&2\\1&0&2\end{array}\right]$

Para calcular os autovalores, subtraímos dessa matriz da matriz identidade vezes o autovalor λ, calculamos o determinante e igualamos a zero:

$\left|\begin{array}{ccc}2-\lambda&2&2\\1&3-\lambda&2\\1&0&2-\lambda\end{array}\right| = 0\\\\ \left|\begin{array}{ccccc}2-\lambda&2&2&2-\lambda&2\\1&3-\lambda&2&1&3-\lambda\\1&0&2-\lambda&1&0\end{array}\right| = 0\\\\(2-\lambda)\cdot(3-\lambda)\cdot(2-\lambda)+2\cdot2\cdot1+2\cdot1\cdot0-2\cdot(3-\lambda)\cdot1-(2-\lambda)\cdot2\cdot0-2\cdot1\cdot(2-\lambda)=0$

$(4-4\lambda+\lambda^2)\cdot(3-\lambda)+4-6+2\lambda-4+ 2\lambda=0\\12 - 12\lambda+3\lambda^2-4\lambda+4\lambda^2-\lambda^3-6+4\lambda = 0\\-\lambda^3+7\lambda^2-12\lambda+6=0$

Ao somarmos os coeficientes vemos que 1 é raiz desse polinômio, assim, dividimos esse polinômio por λ - 1:

$\left[\begin{array}{cccc|ccc}-\lambda^3&+7\lambda^2&-12\lambda&+6&\undeline{\lambda-1} \\+\lambda^3&-\lambda^2&&&-\lambda^2+6\lambda-6\\0&6\lambda^2&-12\lambda&+6\\&-6\lambda^2&+6\lambda&\\&0&-6\lambda&+6\\&&+6\lambda&-6\\&&0&0\end{array}\right]$

Agora achamos as raízes de - λ² + 6λ - 6 por Bhaskara com a = -1, b = 6 e c = -6.

Δ = b² - 4 · a · c

Δ = 6² - 4 · (-1) · (-6)

Δ = 36 - 24

Δ = 12

$\lambda = \frac{-b \pm\sqrt \Delta}{2\cdot a}\\\lambda = \frac{-6 \pm\sqrt {12}}{2\cdot (-1)}\\\lambda = \frac{-6 \pm2\sqrt 3}{-2}\\\lambda = 3 \pm \sqrt 3$

Assim, os autovalores são 1, 3 + √3 e 3 - √3, sendo que o de maior valor é o 3 + √3

Autovetores

Encontramos os autovetores, substituindo cada um dos autovalores na equação matricial:

(D - λI) X = 0

Assim, temos:

$D = \left[\begin{array}{ccc}2-(3+\sqrt3)&2&2\\1&3-(3+\sqrt3)&2\\1&0&2-(3+\sqrt3)\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]\\\\\\D = \left[\begin{array}{ccc}-1 -\sqrt3&2&2\\1&-\sqrt3&2\\1&0&-1 - \sqrt3\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]$

$D = \left[\begin{array}{ccc} (-1 - \sqrt3)x+2y+2z\\x- \sqrt3y + 2z\\x+(-1 - \sqrt3)z\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]$

Da última equação temos que x = (1 + √3)z

Da segunda equação tiramos que:

x - √3y + 2z = 0

(1 + √3)z - √3y + 2z = 0

-√3y = (- 3 - √3)z

y = (- 3 - √3)/(-√3) z

y = (1 + √3)z

Da primeira equação, temos:

(- 1 - √3)x + 2y + 2z = 0

(- 1 - √3)(1 + √3)z + 2(1 + √3)z + 2z = 0

(-1 -2√3 - 3)z + (2 + 2√3)z + 2z = 0

(0 + 0)z = 0

Assim, o autovetor é ((1 + √3)z, (1 + √3)z, z) ou simplesmente (1 + √3, 1 + √3, 1)

Cálculo das ocupações

O modo como calcularemos as ocupações está descrito no enunciado.

A ocupação de um galpão é a coordenada dele dividido pela soma das coordenadas:

$A = \frac{1 + \sqrt3}{1 + \sqrt3 + 1 + \sqrt3 + 1} = \frac{1 + \sqrt3}{3 + 2\sqrt3}$

Racionalizamos a fração multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:

$A = \frac{1 + \sqrt3}{3 + 2\sqrt3}\cdot \frac{3 - 2\sqrt3}{3 - 2\sqrt3} = \frac{3 + 3\sqrt3-2\sqrt3-2\cdot3}{9 - 4\cdot 3} = \frac{-3 + \sqrt3}{-3}= \frac{3 - \sqrt3}{3}\\B = \frac{1 + \sqrt3}{3 + 2\sqrt3}\cdot \frac{3 - 2\sqrt3}{3 - 2\sqrt3} = \frac{3 + 3\sqrt3-2\sqrt3-2\cdot3}{9 - 4\cdot 3} = \frac{-3 + \sqrt3}{-3}= \frac{3 - \sqrt3}{3}\\C = \frac{1}{3 + 2\sqrt3}\cdot \frac{3 - 2\sqrt3}{3 - 2\sqrt3} = \frac{3 -2\sqrt3}{-3} = \frac{2\sqrt3 - 3}{3}$

Veja mais questões sobre autovalores e autovetores em:

https://brainly.com.br/tarefa/4196598

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