Question

Exercício 10 e 7 em anexo

Answer 1

7- Vamos, primeiramente, ver como a poligonal se comporta. É possível ver que ela forma ângulos de 60° e triângulos cuja base está no lado AB. Esses triângulos formados são todos equiláteros, concorda? Sendo assim temos uma série de igualdades (que tu pode continuar escrevendo, vá lá)

$BC=CB_1=BB_1\\ B_1C_1=C_1B_2=B_1B_2\\ B_2C_2=C_2B_3=B_2B_3\\ B_3C_3=C_3B_4=B_3B_4\\ \vdots$

Queremos saber o comprimento da poligonal $BCB_1C_1B_2C_2B_3C_3\ldots$, mas perceba que seu comprimento L é dado por:

$L=BC+CB_1+B_1C_1+C_1B_2+B_2C_2+C_2B_3+\ldots$

Pelas igualdades acima podemos reescrever a soma de valor L da seguinte forma:

$L=2BB_1+2B_1B_2+2B_2B_3+2B_3B_4+\ldots\\ \\ L=2(BB_1+B_1B_2+B_2B_3+B_3B_4+\ldots)$

Por fim, note que aquela soma infinita entre parênteses tem valor igual ao comprimento do lado AB, que é c, portanto:

$\boxed{\boxed{L=2c}}$

R: a) 2c

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10- Seja E o ponto em AD tal que $A\^EB = x$ e seja $\alpha=A\^BE$. Trabalhando com o triângulo BDE temos:

$\left.\begin{array}{r}A\^EB+B\^ED=180\°\\ y+36\°+B\^ED=180\°\end{array}\right\}\Rightarrow \boxed{x=y+36\°}$

Pelo mesmo motivo, temos que $D\^BC=x+y=2y+36\°$. Daí:

$A\^BE+E\^BD+D\^BC=180\°\\ \\ \alpha+36\°+2y+36\°=180\°\\ \\ 2y=108\°-\alpha\hspace{0,2mm}^{(i)}$

Como queremos saber o valor de $3y-x$ e sabemos que $x=y+36\°$ podemos dizer que queremos saber o valor de $2y-36\°$. Subtraindo 36° da igualdade (i) teremos:

$\boxed{2y-36\°=72\°-\alpha}$

Depois de fazer umas construções aqui encontrei que $\alpha$ pode assumir vários valores menores que 108°, portanto não se pode garantir que aquela expressão tenha um único valor.


Porém, dando uma rápida olhada na internet, encontrei que falta um dado na imagem, que $D\^BC=80\°$, donde encontramos que $\alpha=64\°$ e que, por fim, $2y-36\°=8\° \Rightarrow 3y-x=8\°$, daí a resposta seria o item a)