Question

Eu sei a resposta, só não sei como chegar nela! Se souber resolva detalhadamente e explicando passo a passo; por favor se não souber abstenha-se pois nao quero "respostas de cabeça" (UFGO)Sabe-se que as casas do braço de um violão diminuem de largura seguindo uma mesma proporção. Se a primeira casa do braço de um violão tem 4 cm de largura e a segunda casa, 3 cm, calcule a largura da quarta casa.. A resposta é 27/16 cm.

Answer 1

Olá

Nessa questão, podemos demonstrar como resolvê-la por uma progressão geométrica e também por que não podemos resolvê-la por progressão aritmética

Como podemos ver, o violão terá a largura da primeira casa sendo igual a 4cm e a segunda sendo igual a 3cm

Se fosse uma progressão aritmética com razão igual a -1, não teríamos a quinta casa, já que ela teria 0cm de largura

Sendo então uma progressão geométrica, podemos expressar uma razão de qualquer termo e seu antecessor e assim dar continuidade aos valores das larguras das casas

Encontre a razão q do segundo e primeiro termo

$q = \dfrac{3}{4}$

Logo, podemos usar a fórmula do termo geral da progressão geométrica

${\ell}_n = {\ell}_1 \cdot q^{n - 1}$

Substituindo

$\begin{cases}n = 4\\ {\ell}_1 = 4\\ q = \dfrac{3}{4}\\ \end{cases}$

Teríamos

${\ell}_4 = 4\cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^{4-1}$

Simplifique o valor do expoente

${\ell}_4=4\cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^3$

Utilize a propriedade para potência de frações

$\boxed{\left(\dfrac{x}{y}\right)^z = \dfrac{x^z}{y^z}}$

Aplique a propriedade

${\ell}_4=4\cdot \dfrac{3^3}{4^{3}}$

Agora, multiplique os valores, também lembrando da propriedade de divisão de potências de mesma base

$\boxed{\dfrac{x^y}{x^z}=x^{y-z}}$

${\ell}_4=\dfrac{4\cdot 3^3}{4^3}$

Aplique a propriedade

${\ell}_4=\dfrac{3^3}{4^{3-1}}$

Simplifique o valor do expoente

${\ell}_4=\dfrac{3^3}{4^2}$

Potencialize os valores

${\ell}_4=\dfrac{27}{16}$

Então, temos que o valor da largura da quarta casa é de $\dfrac{27}{16}$cm