Question

) Estude a posi¸c˜ao da reta r em rela¸c˜ao ao plano π. Determine, se houver, a interse¸c˜ao entre a reta o plano. r : x = −1 + 2t; y = −1 + 3t; z = −1 + 2t e π : −5x + 10y − 10z = −3

Answer 1

A reta r é paralela ao plano π.

Das equações paramétricas da reta r, temos o ponto (-1,-1,-1) e o vetor direção u = (2,3,2).

Já da equação do plano π, temos que o vetor normal é igual a v = (-5,10,-10).

Vamos calcular o produto interno entre os dois vetores citados:

<u,v> = 2.(-5) + 3.10 + 2.(-10)

<u,v> = -10 + 30 - 20

<u,v> = 0

Quando o produto interno entre dois vetores é igual a zero, significa que os vetores são perpendiculares.

Isso quer dizer que a reta é paralela ao plano ou a reta está contida no plano.

Para sabermos qual é a resposta certa, vamos pegar o ponto (-1,-1,-1) e substituir na equação do plano:

-5.(-1) + 10.(-1) - 10.(-1) = 5 - 10 + 10 = 5 ≠ -3.

Portanto, a reta não está contida no plano.

Logo, a reta é paralela ao plano.