Question

Estabeleça os valores de m para o gráfico da função f(x)=x2-2x-m corte o eixo x em dois pontos distintos.


O m > 1
O m < -1
O m > -1
O m > 0
O m < 1​

Answer 1

Quando uma função quadrática corta o eixo x em dois pontos distintos, isso quer dizer que as raízes desta função são diferentes, uma vez que são elas que cortam o eixo x.

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Primeiro, analisemos as regras do delta:

$\begin{array}{l}\sf Se~~\Delta > 0~\to~ x'~e~x''\!\in\mathbb{R}~~com~~x'\neq x''\\\\\sf Se~~\Delta=0~\to~ x'~e~x''\!\in\mathbb{R}~~com~~x'=x''\\\\\sf Se~~\Delta < 0~\to~ x'~e~x''\!\notin\mathbb{R}\end{array}$

Essas regras interferem no gráfico da função, pois:

• Se delta for positivo, terá duas raízes reais e diferentes, logo: o gráfico corta o eixo x em dois pontos diferentes;
• Se delta for nulo, terá uma só raiz real, logo: o gráfico corta o eixo x em um ponto só;
• Se delta for negativo, não terá raízes reais, logo: o gráfico não corta o eixo x.

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Dessa forma, se queremos determinar ''m'', de modo que o gráfico corte o eixo x em dois pontos diferentes, então o delta deve ser positivo.

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Dada a função em questão:

$\boxed{\begin{array}{l}\sf f(x)=x^2-2x-m\end{array}}$

Lembrando que Δ = b² - 4ac, vamos Identificar os coeficientes:

• a = 1
• b = - 2
• c = - m

Substituindo:

$\begin{array}{l}\sf\Delta > 0\\\\\sf b^2-4ac > 0\\\\\sf(-2)^2-4\cdot1\cdot(-m) > 0\\\\\sf4+4m > 0\\\\\sf4m > -\:4\\\\\sf m > -\dfrac{4}{4}\\\\\!\boxed{\sf m > -1}\\\\\end{array}$

Resposta: 3ª opção.

m deve ser maior que - 1 para o gráfico da função cortar o eixo x em dois pontos distintos.

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Att. Nasgovaskov

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