Question

(ESPM-SP)Uma campanha de ajuda comunitária arrecadou, no 1º dia,a importância de 120mil reais; no 2º dia,160mil reais;no 3ºdia,200mil reais e assim por diante,sempre aumetando 40 mil reais a cada dia.O montante da arrecadação atingiu 10 milhões de reais no:
a) 15°dia
b)12ºdia
c)18ºdia
d)20ºdia
e)22°dia

Answer 1

Tentar detalhar o máximo possível. 

A P.A. ⇒ 

(120, 160, 200, ...) ⇒ Em milhares 

a₁ = 120 
r = 40 
aո = ? 
n = ? ⇒ Número de termos, o que a questão pede 

Soma de todos os termos = 10000 ⇒ (lembre-se que reduzi para milhares) 

Utilizando primeiro a fórmula da Soma dos termos de uma P.A. ⇒ 

Sո = [(aո + a₁) / 2] . n ⇒ Substituindo o que é conhecido 
10000 = [(an + 120) / 2] . n ⇒ Manipulando algebricamente a equação 
10000 / n = (an + 120) / 2 
20000 / n = an + 120 ⇒ Isolando an 
an = 20000 / n - 120 


Usando agora a fórmula do Termo Geral ⇒ 

aո = a₁ + (n - 1) . r ⇒ Substituindo o que é conhecido 
an = 120 + (n - 1) . 40 
an = 120 + 40n - 40 
an = 80 + 40n 


Note que temos duas igualdades em função de "an". Igualá-las ⇒ 

20000 / n - 120 = 80 + 40n 
20000 / n - 40n = 80 + 120 
20000 / n - 40n = 200 ⇒ Tirando o mmc, que é "n" 
20000 - 40n² = 200n 
-40n² - 200n + 20000 = 0 ⇒ Simplificando a equação dividindo tudo por 40 
-n² - 5n + 500 = 0 ⇒ Multiplicando a equação toda por (-1) pra tirar o negativo da frente 
n² + 5n - 500 = 0 

Resolvendo esta equação de Segundo Grau por Bhaskara ⇒ 

∆ = b² - 4ac 
∆ = 5² - 4 . 1 . (-500) 
∆ = 25 + 2000 
∆ = 2025 

n = (-b ± √∆) / 2a 
n = (-5 ± √2025) / (2 . 1) 
n = (-5 ± 45) / 2 

n' = (-5 - 45) / 2 
n' = -50 / 2 
n' = -25 ⇒ Esta raiz não serve, pois a P.A. é crescente. Portanto, descarta 

n'' = (-5 + 45) / 2 
n'' = 40 / 2 
n'' = 20 

Como "n" é o número de termos da P.A., onde a Soma resulta em 10 milhões. 
Resp ⇒ Alternativa d) 20º dia