Question

Escreva na forma trigonometrica os seguintes numeros complexos :
a) 4
b) 2- 2i
c) i

Answer 1

Para escrever um número complexo

$z=a+bi,\;\;\left(a,\,b\in \mathbb{R} \right )$

na forma trigonométrica, devemos encontrar o módulo e o argumento (ângulo) do número $z$.


$\bullet\;\;$ O módulo de $z$ é dado por

$\left|z\right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$


$\bullet\;\;$ O argumento de $z$ é o ângulo $\theta$, $0 \leq \theta < 2\pi$, de forma que

$\left\{ \begin{array}{c} \cos \theta=\dfrac{a}{\left|z\right|}=\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\\ \\ \mathrm{sen\,} \theta=\dfrac{b}{\left|z\right|}=\dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \end{array} \right.$


Escrevendo $z$ na forma trigonométrica,

$z=\left|z\right|\cdot \left(\cos \theta +i\mathrm{\,sen\,}\theta \right )$


a) $z_{1}=4$

$z_{1}=4+0i\;\;\Rightarrow\;\;a=4,\;b=0\\ \\ \left|z_{1}\right|=\sqrt{4^{2}+0^{2}}\\ \\ \left|z_{1}\right|=\sqrt{16}\\ \\ \left|z_{1}\right|=4\\ \\ \\ \left\{ \begin{array}{l} \cos \theta_{1}=\dfrac{4}{4}=1\\ \\ \mathrm{sen\,} \theta_{1}=\dfrac{0}{4}=0 \end{array} \right.\;\;\Rightarrow\;\;\theta_{1}=0\\ \\ \\ z_{1}=\left|z_{1}\right|\cdot \left(\cos \theta_{1}+i\mathrm{\,sen\,}\theta_{1} \right )\\ \\ z_{1}=4\cdot\left(\cos 0+i \mathrm{\,sen\,}0 \right )$


b) $z_{2}=2-2i\;\;\Rightarrow\;\;a=2,\;b=-2$


$\left|z_{2}\right|=\sqrt{2^{2}+\left(-2 \right )^{2}}\\ \\ \left|z_{2}\right|=\sqrt{4+4}\\ \\ \left|z_{2}\right|=\sqrt{8}\\ \\ \left|z_{2}\right|=\sqrt{2^{2}\cdot 2}\\ \\ \left|z_{2}\right|=2\sqrt{2}\\ \\ \\ \left\{ \begin{array}{l} \cos \theta_{2}=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \mathrm{sen\,} \theta_{2}=\dfrac{-2}{2\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right.\;\;\Rightarrow\;\;\theta_{2}=\dfrac{7\pi}{4}\\ \\ \\ z_{2}=\left|z_{2}\right|\cdot \left(\cos \theta_{2}+i\mathrm{\,sen\,}\theta_{2} \right )\\ \\ z_{2}=2\sqrt{2}\cdot\left(\cos \dfrac{7\pi}{4}+i \mathrm{\,sen\,}\dfrac{7\pi}{4} \right )$


c) $z_{3}=i$

$z_{3}=0+1i\;\;\Rightarrow\;\;a=0,\;b=1\\ \\ \\ \left|z_{3}\right|=\sqrt{0^{2}+1^{2}}\\ \\ \left|z_{3}\right|=\sqrt{0+1}\\ \\ \left|z_{3}\right|=1\\ \\ \\ \left\{ \begin{array}{l} \cos \theta_{3}=\dfrac{0}{1}=0\\ \\ \mathrm{sen\,} \theta_{3}=\dfrac{1}{1}=1 \end{array} \right.\;\;\Rightarrow\;\;\theta_{3}=\dfrac{\pi}{2}\\ \\ \\ z_{3}=\left|z_{3}\right|\cdot \left(\cos \theta_{3}+i\mathrm{\,sen\,}\theta_{3} \right )\\ \\ z_{3}=1\cdot \left(\cos \dfrac{\pi}{2}+i\mathrm{\,sen\,}\dfrac{\pi}{2} \right )$