Question

Escreva as equações das retas tangentes à curva x²+y²=25 nos pontos de obcissa iguais a 3.​

Answer 1

⇒ Aplicando nossos conhecimentos sobre aplicações de derivadas, concluímos e as equações das retas tangentes aos pontos de abscissas 3 são   4y - 3x + 25 = 0   e   4y + 3x - 25 = 0.

➜      Inserindo   x = 3,

$\large{3^{2} +y^{2} =25\Longrightarrow y^{2} =16\Longrightarrow y=\pm 4}$

Os pontos de abscissa 3 são os pontos (3, -4) e (3, 4).

➜      Derivando   x² + y² = 25   pela regra da derivação implícita,

$\large{2x +2y\dfrac{dy}{dx} =0}$

➜     No ponto (3, - 4)

$\large{2( 3) +2( -4)\dfrac{dy}{dx} =0\Longrightarrow \dfrac{dy}{dx} =\dfrac{6}{8} =\dfrac{3}{4}}$

∴     A equação da reta que possui coeficiente angular  m = dy/dx = 3/4   e passa pelo ponto   (3, - 4) é

$\large{\text{ \begin{array}{l}y-y_{0} =m( x-x_{0})\\\\y+4=\dfrac{3}{4}( x-3)\\\\\underline{\boxed{4y-3x+25=0}}\end{array} }}$

➜      No ponto (3, 4)

$\large{2( 3) +2( 4)\dfrac{dy}{dx} =0\Longrightarrow \dfrac{dy}{dx} =-\dfrac{3}{4}}$

∴      A equação da reta que possui coeficiente angular   m = dy/dx = - 3/4   e passa pelo ponto   (3, 4) é

$\large{\text{ \begin{array}{l}y-y_{0} =m( x-x_{0})\\\\y-4=-\dfrac{3}{4}( x-3)\\\\\underline{\boxed{4y+3x-25=0}}\end{array} }}$

∴     As equações pedidas são 4y - 3x + 25 = 0   e   4y + 3x - 25 = 0    ✍️

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