Question

Escreva a PA crescente de 5 termos em que o produto dos extremos, ou seja, do primeiro com o ultimo termo é igual a 9 e a soma dos outros 3 termos é igual a 15.

Answer 1

Queremos encontrar uma sequência de cinco termos em progressão aritmética

$\left(a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,a_{4},\,a_{5} \right )$

de forma que

$\left\{\begin{array}{rcl} a_{1}\cdot a_{5}&=&9\\ a_{2}+a_{3}+a_{4}&=&15 \end{array} \right.$


Sendo $r$ a razão desta P.A. crescente, devemos ter

$r>0$

e podemos escrever


$a_{5}=a_{1}+4r\\ \\ a_{4}=a_{1}+3r\\ \\ a_{3}=a_{1}+2r\\ \\ a_{2}=a_{1}+r$


Substituindo no sistema de equações, temos

$\left\{\begin{array}{rcl} a_{1}\cdot \left(a_{1}+4r \right )&=&9\\ \left(a_{1}+r \right )+\left(a_{1}+2r \right )+\left(a_{1}+3r \right)&=&15 \end{array} \right.\\ \\ \\ \left\{\begin{array}{rcl} a_{1}\cdot \left(a_{1}+4r \right )&=&9\\ 3a_{1}+6r&=&15 \end{array} \right.$


Isolando $r$ na segunda equação e substituindo na primeira, temos

$3a_{1}+6r=15\\ \\ 6r=15-3a_{1}\\ \\ r=\dfrac{15-3a_{1}}{6}\\ \\ r=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 3\cdot \left(5-a_{1} \right )}{\diagup\!\!\!\! 3\cdot 2}\\ \\ r=\dfrac{5-a_{1}}{2}\\ \\ \\ a_{1}\cdot \left(a_{1}+4r \right )=9\\ \\ a_{1}\cdot \left[a_{1}+\diagup\!\!\!\! 4\cdot \left(\dfrac{5-a_{1}}{\diagup\!\!\!\! 2} \right ) \right ]=9\\ \\ a_{1}\cdot \left[a_{1}+2\cdot\left(5-a_{1} \right ) \right ]=9\\ \\ a_{1}\cdot \left[a_{1}+10-2a_{1} \right ]=9\\ \\ a_{1}\cdot \left[10-a_{1} \right ]=9$

$a_{1}\cdot \left[10-a_{1} \right ]=9\\ \\ 10a_{1}-a_{1}^{2}=9\\ \\ a_{1}^{2}-10a_{1}+9=0\\ \\ a_{1}^{2}-a_{1}-9a_{1}+9=0\\ \\ a_{1}\cdot \left(a_{1}-1 \right )-9\cdot \left(a_{1}-1 \right )=0\\ \\ \left(a_{1}-1 \right )\cdot \left(a_{1}-9 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} a_{1}-1=0&\text{ ou }&a_{1}-9=0\\ \\ a_{1}=1&\text{ ou }&a_{1}=9 \end{array}$


Como a P.A. é crescente, devemos verificar para qual dos dois valores acima, a razão $r$ é positiva:

$\bullet\;\;$ Para $a_{1}=1$, temos

$r=\dfrac{5-a_{1}}{2}\\ \\ r=\dfrac{5-1}{2}\\ \\ r=\dfrac{4}{2}\\ \\ r=2>0$

$\bullet\;\;$ Para $a_{1}=9$, temos

$r=\dfrac{5-a_{1}}{2}\\ \\ r=\dfrac{5-9}{2}\\ \\ r=\dfrac{-4}{2}\\ \\ r=-2<0\;\;\text{(n\~{a}o serve)}$


Logo, o primeiro termo é $a_{1}=1$ e a razão é $r=2$.


Finalmente, a progressão procurada é

$\left(a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,a_{4},\,a_{5} \right )\\ \\ \left(1,\;1+2,\;1+2\cdot 2,\;1+3\cdot 2,\;1+4\cdot 2 \right )\\ \\ \left(1,\,3,\,5,\,7,\,9 \right)$

Answer 2

               a1*a5 =  9
             a2 + a3 + a4 = 15

Numa PA
         an = a1 + (n - 1).r

Na PA em estudo
         a1 = a1
         a5 = a1 + (5 - 1).r = a1 + 4r
                          a1*(a1 + 4r) = 9
                                                           a1^2 + 4a1r = 9      (1)
         a2 = a1 + r
         a3 = a1 + 2r
         a4 = a1 + 3r
                       a2 + a3 + a4 = a1 + r + a1 + 2r + a1 + 3r = 15
                                                      3a1 + 6r = 15 
                                                                   a1 + 2r = 5        (2)
Resolvendo o sistema (1) - (2)
         De (2)
                           a1 = 5 - 2r
a1 em (1)
                           (5 - 2r)^2 + 4(5 - 2r).r = 9
                           25 - 20r + 4r^2 + 20r - 8r^2 = 9
                           25 - 9 - 4r^2 = 0
                                 16 - 4r^2 = 0
                                            16 = 4r^2
                                               r^2 = 4
                                                   r = +/- 2                   
 
Sendo a PA cresecente
                                                              r = 2                   
r em (2)
                   a1 + 2(2) = 5
                   a1 = 5 - 4
                                                           a1 = 1

                                         PA = { 1, 3, 5, 7, 9 }   RESULTADO FINAL