Question

Escreva a expressão que calcula a função primitiva de uma função polinomial. (0,5 ponto)
b) Encontre a integral da função f(x) = 4x² - 3x + 4

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a primitiva - antiderivada ou integral indefinida -  da referida função dada é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \int (4x^{2} - 3x + 4)\,dx= \frac{4x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2} + 4x + c\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt f(x) = 4x^{2} - 3x + 4\end{gathered}$

Para calcular a primitiva da referida função devemos atentar para as seguintes propriedades:

• Integral de uma constante:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int k\,dx = k\int dx\end{gathered}$

• Integral de uma potência:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int x^{n}\,dx = \Large\begin{cases}\tt \frac{x^{n + 1}}{n + 1},\:\:\:\textrm{se}\,n\neq-1\\\\\tt \ln|n|,\:\:\:\textrm{se}\,n = -1\end{cases}\end{gathered} }$

• Integral da soma é igual à soma das integrais:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int \left[g(x) + h(x)\right]\,dx = \int g(x)\,dx + \int h(x)\,dx\end{gathered}$

Calculando a primitiva da função dada, temos:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int (4x^{2} - 3x + 4)\,dx = \int 4x^{2}\,dx + \int -3x\,dx + \int 4\,dx\end{gathered}$

                                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 4\int x^{2}\,dx - 3\int x\,dx + 4\int dx\end{gathered}$

                                              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = 4\cdot\frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} - 3\cdot\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} + 4x + c\end{gathered} }$

                                              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \frac{4x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2} + 4x + c\end{gathered} }$

✅ Portanto, a primitiva procurada é:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int (4x^{2} - 3x + 4)\,dx= \frac{4x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2} + 4x + c\end{gathered} }$

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Veja a solução gráfica representada na figura: