Question

Escreva 4 potenciações diferentes todas com resultado 64

Answer 1

Após a conclusão dos cálculos, podemos concluir que  as 4 potenciações possíveis com resultado 64 são  $\sf 2^6$, $\sf4^3$, $\sf8^2$  e  $\sf 4096^{\frac{1}{2}}$ .

Definição de potenciação

Potenciação é o produto de números iguais . Em uma potenciação destacamos:

• base : é o número que vai se repetir
• expoente: é o número que fica em cima da base e indica quantas vezes esta vai se repetir

potência: é o resultado  da potenciação.

exemplo: $\sf 2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$

$\sf2\longrightarrow$ é a base

$\sf 5\longrightarrow$ é o expoente

32$\sf\longrightarrow$ é a potência

Potência de expoente racional

Chama-se potência de expoente racional a toda base cujo expoente pode ser escrito em forma de fração.  Basicamente trata-se de um radical, cujo índice é o denominador da fração e o expoente do radicando é o numerador da fração.

matematicamente temos

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[\sf n]{\sf a^m}}}}}$

exemplo: $\sf 8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[\sf3]{\sf 8^1}=\sqrt[\sf3]{\sf 8}=2$
Na prática, basta decompor a base em fatores primos e utilizando propriedades das potências, realizar os cálculos

Propriedades das potênciação

• 1ª

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf a^m\cdot a^n=a^{m+n}\end{array}}$

• 2ª

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\end{array}}$

• 3ª

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf (a^m)^n=a^{m\cdot n}\end{array}}$

• 4ª

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf (a\cdot b)^m=a^m\cdot b^m\end{array}}$

• 5ª

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)^m=\dfrac{a^m}{b^m}\end{array}}$

Vamos a resolução do exercício

Aqui iremos apresentar 4 potências que resultam em 64. Uma dessas formas é obtida decompondo 64 em fatores primos

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\begin{array}{c|c}\sf64&\sf2\\\sf32&\sf2\\\sf16&\sf2\\\sf8&\sf2\\\sf4&\sf2\\\sf2&\sf2\\\sf1\end{array}\\\sf 64=2^6\end{array}}$

outra forma de obter  64 é reescrever  o resultado anterior da seguinte forma:

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf 2^6=(2^2)^3=4^3\end{array}}$

perceba que podemos  continuar a reescrever expressão assim:

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf2^6=2^3\cdot2^3=8\cdot8=8^2\end{array}}$

Por fim outra possível forma de escrever mas não tão intuitiva é a seguinte:

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf\sqrt{4096}=4096^{\frac{1}{2}}=64\end{array}}$

mas como podemos concluir isso ? fazendo a decomposição em fatores primos veja:

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\begin{array}{c|c}\sf4096&\sf2\\\sf2048&\sf2\\\sf1024&\sf2\\\sf512&\sf2\\\sf256&\sf2\\\sf128&\sf2\\\sf64&\sf2\\\sf32&\sf2\\\sf16&\sf2\\\sf8&\sf2\\\sf4&\sf2\\\sf2&\sf2\\\sf1\end{array}\\\sf 4096=2^{12}\\\sf 4096^{\frac{1}{2}}=(2^{12})^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{12}{2}}\\\sf4096^{\frac{1}{2}}=2^6=64\end{array}}$

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