Question

(ESC. NAVAL) A Escola Naval irá distribuir 4 viagens para a cidade de Fortaleza, 3 para a cidade de Natal e 2 para a cidade de Salvador. De quantos modos diferentes podemos distribuí-las entre 9 aspirantes, dando somente uma viagem para cada um?

a) 288
b) 1260
c) 60800
d) 80760

Answer 1

$C_{(n,p)} \ = \ \binom{n}{p} \ = \ \frac{n!}{(n \ - \ p)! \ . \ p!}$

$(C_{(n,p)} \ \rightarrow \ Combina\c{c}\~ao \ de \ n \ ''fatores'' \ em \ p \ ''espa\c{c}os'')$

$Vamos \ combinar \ todos \ os \ aspirantes \ da \ EN \ em \ todas \ as \ vagas. \\ Assim, \ n\~ao \ sobram \ nem \ aspirantes \ nem \ vagas.$

$(Combina\c{c}\~ao \ porque \ a \ ordem \ n\~ao \ importa \\ (tanto \faz \ a \ primeira \ ou \ a \ \'ultima \ vaga, \ voc\^e \ viajar\'a \ do \ mesmo \ jeito ))$

$Para \ Fortaleza : \ C_{(9,4)}; \\ \\ Para \ Natal : \ C_{(5,3)} \ \rightarrow \ Tiramos \ os \ que \ j\'a \ v\~ao \ a \ Fortaleza; \\ \\ Para \ Salvador \ : \ C_{(2,2)} \ \rightarrow \ Nem \ precisamos \ fazer... \\ (S\~ao \ os \ que \ sobram)$

$C_{(9,4)} \ . \ C_{(5,3)} \ = \\ \\ \frac{9!}{(9 \ - \ 4)! \ . \ 4!} \ . \ \frac{5!}{(5 \ - \ 3)! \ . \ 3!} \ = \\ \\ \frac{9!}{5! \ . \ 4!} \ . \ \frac{5!}{2! \ . \ 3!} \ = \\ \\ \frac{9!}{4! \ . \ 2! \ . \ 3!} \ =$

$\frac{9 \ . \ 8 \ . \ 7 \ . \ 6 \ . \ 5 \ . \ 4!}{4! \ . \ 2 \ . \ 1 \ . \ 3 \ . \ 2 \ . \ 1} \ = \ \\ \\ \frac{9 \ . \ 8 \ . \ 7 \ . \ 5 }{2} \ = \ \\ \\ 9 \ . \ 4 \ . \ 7 \ . \ 5 \ = \\ \\ \boxed{\boxed{1260 \ combina\c{c}\~oes}} \\ \\ (Perceba \ que \ nem \ a \ ordem \ das \ cidades \ importa... \\ Isso \ porque \ multiplicamos \ as \ combina\c{c}\~oes)$

Answer 2

Resposta:

B) 1260

Explicação passo-a-passo:

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO :

$\frac{9!}{4!3!2!} = 1260$