Question

Esboce o gráfico das funções, e determine a área da região compreendida entre as curvas: y=x^2 e y=-x^2+4x

Answer 1

Temos duas funções do segundo grau.

A curva y = x² possui a origem como raiz e a sua concavidade é para cima. Já a curva y = -x² + 4x possui duas raízes: x = 0 e x = 4 e a sua concavidade é para baixo.

Precisamos calcular o(s) ponto(s) de interseção entre as duas curvas.

Sendo assim, basta igualar as duas funções:

x² = -x² + 4x

2x² - 4x = 0

2x(x - 2) = 0

x = 0 e x = 2.

Quando x = 0, então y = 0.

Quando x = 2, então y = 4.

Assim, os pontos de interseção são (0,0) e (2,4).

Os gráficos e a área entre as curvas estão esboçados abaixo.

Para calcular a área em vermelho podemos utilizar a integral.

Sendo assim,

$A=\int\limits^2_0 {-x^2+4x-x^2} \, dx$

$A=\int\limits^2_0 {-2x^2+4x} \, dx$

Integrando:

$A=-\frac{2x^3}{3}+2x^2$

Aplicando os limites de integração:

$A=-\frac{2.2^3}{3}+2.2^2$

$A=-\frac{16}{3} + 8$

$A=-\frac{2.2^3}{3}+2.2^2$

$A=\frac{8}{3}$ unidades de área.