Question

Esboçar o gráfico da função, determinando: máximo, mínimo, crescimento, decrescimento, pontos onde cortam os eixos, concavidade, ponto de inflexão  e assíntotas:
y=3x^4-8x³+6x²+2

Answer 1

Olá, Darlany.

$f(x) = 3x^4-8x\³+6x\²+2$

1) Pontos críticos:

$f(x) = 3x^4-8x\³+6x\²+2\Rightarrow\\\\ f'(x)=12x^3-24x^2+12x=12x(x^2-2x+1)=\\\\ =12x(x-1)^2=0\Leftrightarrow \boxed{x=0}\text{ ou }\boxed{x=1}\text{ (pontos cr\'iticos)}$

2) Máximos, mínimos e pontos de inflexão:

Para saber se os pontos críticos são mínimos, máximos ou pontos de inflexão, devemos examinar o valor da segunda derivada nestes pontos.

$f''(x)=36x^2-48x+12=12(3x^2-4x+1)\Rightarrow\\\\ \begin{cases}f''(0)=12(3\cdot0-4\cdot0+1)=12>0\text{ (m\'inimo local)}\\f''(1)=12(3\cdot1-4\cdot1+1)=0\text{ (ponto de sela)}\end{cases}$

Além de x = 1, há ainda um ponto de inflexão em $x=\frac13,$ pois $f''(\frac13)=0.$

3) Concavidade: na vizinhança do ponto de mínimo, x = 0, a concavidade é para cima, pois a segunda derivada em x = 0 é positiva e assim se mantém até o ponto de inflexão x = $\frac13$. Entre o ponto de inflexão e o ponto de sela x = 1, a concavidade é voltada para baixo, pois a segunda derivada é negativa em $[\frac13;1]$. À direita do ponto de sela, a concavidade volta-se para cima e continua para cima até $+\infty,$ pois a segunda derivada é sempre positiva para x > 1.

4) Assíntotas: não possui, pois não existem $a,b\in\mathbb{R}$, tais que:

$\lim\limits_{x \to a^\pm}f(x) = \pm\infty\text{ (ass\'intota vertical)}$

$\lim\limits_{x \to \pm\infty}f(x) = b\text{ (ass\'intota horizontal)}$

5) Gráfico: de posse das informações todas acima, escolhemos um ponto à direita e à esquerda do mínimo e dos pontos de inflexão e unimos estes pontos para obter o gráfico conforme a figura em anexo.