Question

equações paramétricas da reta de interseção dos planos x+2y=1 e z=2

Answer 1

Planos:

$\pi_{1}:\,x+2y=1,\\ \\ \pi_{2}:\,z=2$


Vetor normal ao plano $\pi_{1}:$

$\vec{\mathbf{n}}_{1}=(1,\,2,\,0)$


Vetor normal ao plano $\pi_{2}:$

$\vec{\mathbf{n}}_{2}=(0,\,0,\,1)$


Encontrando um vetor diretor $\vec{\mathbf{v}}$ da reta de interseção entre os planos, fazendo o produto vetorial entre os vetores normais:

$\vec{\mathbf{v}}=\vec{\mathbf{n}}_{1}\times \vec{\mathbf{n}}_{2}\\ \\ \vec{\mathbf{v}}=\det\left[ \begin{array}{ccc} \vec{\mathbf{i}}&\vec{\mathbf{j}}&\vec{\mathbf{k}}\\ 1&2&0\\ 0&0&1 \end{array} \right ]\\ \\ \\ \vec{\mathbf{v}}=2\vec{\mathbf{i}}-\vec{\mathbf{j}}+0\vec{\mathbf{k}}\\ \\ \vec{\mathbf{v}}=(2,\,-1,\,0)$


Os pontos da reta de interseção satisfazem as condições impostas pelas equações dos planos:

$\left\{ \begin{array}{l} x+2y=1\\ z=2 \end{array} \right.$


Vamos encontrar um ponto desta reta. Fazendo $y=0$ na equação do primeiro plano, obtemos

$x=1$


Da equação do segundo plano, temos também que

$z=2$


Logo o ponto $P=(1,\,0,\,2)$ é um ponto da reta.


Uma equação para a reta $r$ procurada é a equação da reta que passa por $P$ e possui a direção do vetor $\vec{\mathbf{v}}.$

$r:\,X=P+\lambda\vec{\mathbf{v}}\\ \\ r:\,(x,\,y,\,z)=(1,\,0,\,2)+\lambda\cdot (2,\,-1,\,0)\;\;\;\;\;\lambda \in \mathbb{R}$


Escrevendo a equação acima na forma de equações paramétricas, temos

$r:\left\{ \begin{array}{l} x=1+2\lambda\\ y=-\lambda\\ z=2 \end{array} \right.$


com $\lambda \in \mathbb{R}.$

Answer 2

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que as equações paramétricas da reta de interseção dos referidos planos são:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tau: \Large\begin{cases} x = 1 + 2\lambda\\ y = -\lambda\\ z = 2\end{cases}\end{gathered}$

Sejam as equações dos planos:

          $\Large\begin{cases}\pi: x + 2y = 1\\ \gamma : z = 2\end{cases}$

Para encontrar as equações paramétricas da reta devemos:

• Determinar um dos pontos pertencentes à reta:

        Para isso devemos resolver o sistema formado pelas equações dos planos. Então:

            $\Large\begin{cases} x + 2y = 1\\ z = 2\end{cases}$

        Substituindo "y" por "0" na 1ª equação, temos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} x + 2\cdot0 = 1\end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = 1\end{gathered}$

         A partir de agora já temos o ponto "P" que é:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:P = (1, 0, 2)\end{gathered}$

• Recuperar os vetores normais a partir das equações dos planos:

               $\Large\begin{cases}\vec{n}_{\pi} = (1, 2, 0)\\ \vec{n}_{\gamma} = (0, 0, 1)\end{cases}$  

• Determinar o vetor diretor da reta:

        Para isso, devemos calcular o produto vetorial entre os vetores normais dos planos. Então, temos:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{d}_{\tau} = \vec{n}_{\pi}\wedge\vec{n}_{\gamma}\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix}\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \begin{vmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1\end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix}1 & 2\\ 0 & 0\end{vmatrix}\vec{k} \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (2 - 0)\vec{i} - (1 - 0)\vec{j} + (0 - 0)\vec{k} \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 2\vec{i} - 1\vec{j} + 0\vec{k} \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (2, -1, 0) \end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\vec{d}_{\tau} = (2, -1, 0)\end{gathered}$

• Montar a equação vetorial da reta:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}G = P + \lambda \vec{d}_{\tau} \end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}(x, y, z) = (1, 0, 2) + \lambda(2, -1, 0) \end{gathered}$

• Montar as equações paramétricas da reta:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tau: \Large\begin{cases} x = 1 + 2\lambda\\ y = -\lambda\\ z = 2\end{cases}\end{gathered}$

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