Question

Equações Exponenciais 

 

         2^(2x-3) -  3.2^(x-1) + 4 = 0

 

 

Grata

Answer 1

Olá, Mariana.

 

$<var>2^{(2x-3)} - 3 \cdot 2^{(x-1)} + 4 = 0 \Rightarrow 2^{2x} \cdot 2^{-3}- 3 \cdot 2^x \cdot 2^{-1} + 4 = 0 \Rightarrow \\\\ (2^{x})^2 \cdot \frac1{2^{3}} - 3 \cdot 2^x \cdot \frac 12 + 4 = 0 \Rightarrow (2^{x})^2 \cdot \frac18 - \frac32 \cdot 2^x + 4 = 0\ \ (\times 8) \Rightarrow \\\\ (2^{x})^2 - 12 \cdot 2^x + 32 = 0</var>$

 

Façamos agora a seguinte mudança de variável:  $<var>y=2^x</var>$

 

$<var>\Rightarrow y^2 - 12y + 32 = 0 \Rightarrow \text{(por Bhaskara) } y=\frac{12 \pm \sqrt{144-128}}2=\\\\=\frac{12\pm\sqrt{16}}2=\frac{12\pm4}2 \Rightarrow y=8\text{ ou }y=4</var>$

 

Voltemos agora à mudança de variável:

 

$<var>\begin{cases} 2^x=y=8 \Rightarrow \boxed{x=3},\text{ pois }2^3=8 \\\\ 2^x=y=4 \Rightarrow \boxed{x=2},\text{ pois }2^2=4 \end{cases}</var>$