Question

EQUAÇÃO EXPONENCIAL: ESTOU COM DUVIDA NA LETRA D ELA SERIA A MAIS IMPORTANTE, ENTÃO SE PODER COLOQUE O PASSO A PASSO.

Answer 1

Resposta:

Vamos lá, passo a passo. Lembra da propriedade de potência? Numa multiplicação de potências de mesma base nós mantemos a base e somamos o expoente, assim observe que:

$5^{4x-1} = 5^{4x}.5^{-1}$

Então vamos reescrever a equação fazendo essa mudança:

$5^{4x}.5^{-1} - 5^{4x} - 5^{4x}.5^{+1} + 5^{4x}.5^{+2} = 480$

Observe que todos os termos têm o $5^{4x}$ em comum, então colocaremos em evidência:

$5^{4x} (5^{-1} - 1 - 5^{+1} + 5^{+2}) = 480$

Resolvendo o que está dentro dos parenteses:

$5^{-1} - 1 - 5^{+1} + 5^{+2} = \frac{1}{5} - 1 - 5 - 25= \frac{1-5-25+125}{5} = \frac{96}{5}$

E nossa equação fica:

$5^{4x} . \frac{96}{5} = 480$

Passando a fração para o outro lado, com a operação inversa:

$5^{4x} = 480.\frac{5}{96}$

$5^{4x} = 25$

$5^{4x} = 5^{2}$

Quando as bases são iguais, os expoentes devem ser iguais, assim:

4x = 2

x = $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Answer 2

Nesse tipo de problema precisamos geralmente usar algumas propriedades de potenciação, como:

( I )  $b^{m+n} = b^m \, b^n$

( II )  $\left(b^{m} \right)^n = b^{mn}$

Além disso, as vezes ajuda fazer uma mudança de variável. Voltando ao problema, queremos resolver a seguinte equação:

$5^{ 4x-1} - 5^{4x} - 5^{4x+1} + 5^{4x+2} = 480$

Para facilitar, vamos trocar $5^{4x}$ por y. Assim, usando a propriedade ( I )  acima temos:

$5^{4x-1} = 5^{4x} \cdot 5^{-1} = 5^{-1}\, y \\[3ex]5^{4x+1} = 5^{4x} \cdot 5^{1} = 5^1\, y \\[3ex]5^{4x+2} = 5^{4x} \cdot 5^{2} = 5^2}\, y$

Com isso a equação fica

$5^{-1} \, y - y - 5^1 \,y + 5^2 \, y = 480$

Colocando y em evidência:

$\left( 5^{-1} - 1 - 5^1 + 5^2 \right) y = 480 \Longrightarrow \\[3ex]\left( \dfrac 15 - 1 - 5 + 25 \right) y = 480 \Longrightarrow \\[3ex]\left( \dfrac {1-5-25+125}5 \right) y = 480 \Longrightarrow \\[3ex] \dfrac {96}5 y = 480 \Longrightarrow \boxed{ y = 25}$

Agora que sabemos que y = 25, obtemos:

$5^{4x} = 25 \Longrightarrow \\[3ex]5^{4x} = 5^2 \Longrightarrow \\[3ex]4x = 2 \Longrightarrow \boxed{\boxed{x = \dfrac 12}}$

Portanto, a resposta é x = 1/2