Question

(ENEM 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?

a) 1 m

b) 2 m

c) 2,4 m

d) 3 m

e) 2√6 m​

Answer 1

Resposta:

c) 2,4 m

Explicação passo-a-passo:

Questão muito boa, eu irei resolver por semelhança de triângulos.

Perceba que os triângulos ABC e EFB são semelhantes (caso AA), logo existe uma proporção entre seus lados, ou seja

$\frac{CA}{AB}=\frac{EF}{FB} \Rightarrow \frac{4}{AB}=\frac{EF}{FB}\Rightarrow \\\\ \Rightarrow FB=\frac{AB\cdot EF}{4}\ (I)$

Análogamente, para os triângulos ABD e AFE, segue

$\frac{DB}{AB}=\frac{EF}{AF} \Rightarrow \frac{6}{AB}=\frac{EF}{AF}\\\\ \Rightarrow AF=\frac{EF\cdot AB}{6}\ (II)$

Somando as equações I e II, obtemos:

$FB + AF = \frac{AB\cdot EF}{4} +\frac{EF\cdot AB}{6} \Rightarrow \\\\ \Rightarrow AB = \frac{3AB\cdot EF + 2EF\cdot AB}{12} \Rightarrow \\\\ \Rightarrow AB = \frac{5AB\cdot EF}{12} \Rightarrow EF = \frac{12AB}{5AB} = \frac{12}{5} = 2,4 \Rightarrow \\\\ \Rightarrow EF = 2,4\ m$