Question

Encontre valor para x:

1)log 25=2 com base x
2)log (x-1)=2 com base 3 
3)log (19-x)=2 com base x+1 
4)log x=2 com base 3
5)log 10=1 com base x
6)log x+3/x-1=1 com base 3

porfavo me ajudem respondendo oque vcs soberem heeelp

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se as seguintes equações logarítmicas

1) logₓ (25) = 2 ----- utilizando a definição de logaritmos, teremos isto:

x² = 25
x = +-√(25) ------- como √(25) = 5, então teremos:
x = +-5 ----- Como toda base de logaritmos terá que ser MAIOR do que zero e DIFERENTE de "1", então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

x = 5 <--- Esta é a resposta para a  1ª questão.  Veja que "5" é maior do que zero e diferente de "1", logo atende à condição de existência.

2) log₃ (x-1) = 2 ---- utilizando a definição de logaritmos, teremos;

3² = x - 1
9 = x - 1 ---- passando "-" para o 2º membro, teremos:
9 + 1 = x
10 = x --- ou, invertendo-se:
x = 10 <--- Esta é a resposta para a 2ª questão.


3) log₍ₓ₊₁₎ (19-x) = 2

Antes vamos para as condições de existência:

3.i) Para a base (x+1) teremos que impor que ela seja maior do que zero e diferente de "1". Assim:

x + 1 > 0
x > -1
e, além disso, deveremos ter que:
x ≠ 1

3.ii) Para o logaritmando (19-x) termos que impor que ele seja positivo (> 0), pois só há logaritmos de números positivos. Assim:

19 - x > 0 ----- passando-se "19" para o 2º membro, teremos:
- x > - 19 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos com (note: quando se multiplica uma desigualdade por "-1" o seu sentido muda: o que era > passa pra < e vice-versa):

x < 19

Agora veja: temos que: quanto à base, "x" deverá ser maior do que "-1" e, além disso, ser diferente de "1". E quanto ao logaritmando, deveremos ter que "x" < 19.
Assim, iremos ter o seguinte intervalo, fazendo a intersecção entre eles:

-1 < x < 1, ou 1 < x < 19

Bem, como já vimos as condições de existência, então agora vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

log₍ₓ₊₁₎ (19-x) = 2 ---- aplicando a definição de logaritmos, teremos;

(x+1)² = 19-x ----- desenvolvendo o quadrado, teremos:
x²+2x+1 = 19-x ---- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
x² + 2x + 1 - 19 + x = 0 ----- reduzindo os termos semelhantes, temos:
x² + 3x - 18 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

x' = - 6 <--- raiz inválida, pois NÃO atende às condições de existência.
x'' = 3 <-- raiz válida, pois ESTÁ atendendo às condições de existência.

Logo, a resposta correta para a questão 3ª questão será:

x = 3 <--- Esta é a resposta para a 3ª questão. 


4) log₃ (x) = 2 ---- aplicando a definição de logaritmos, teremos;

3² = x
9 = x ---- ou, invertendo-se:
x = 9 <--- Esta é a resposta para a 4ª questão.


5) logₓ (10) = 1 ---- aplicando a definição de logaritmos, teremos:

x¹ = 10 --- ou apenas:
x = 10 <--- Esta é a resposta para a 5ª questão.

6) log₃ [(x+3)/(x-1)] = 1

Vamos logo para as condições de existência. Como só há logaritmos de números positivos (>0), então vamos impor que o logaritmando (x+3)/(x-1) seja positivo. Logo:

(x+3)/(x-1) > 0 ----- vamos estudar a variação de sinais das duas funções que constituem a inequação-quociente acima. Temos f(x) = x+3 e temos g(x) = x-1.
Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma delas. Depois, em função de suas raízes, encontraremos a variação de sinais de cada equação e, finalmente, daremos a condição de existência. Assim, teremos:

f(x) = x + 3 ---- raízes: x + 3 = 0 ---> x = - 3
g(x) = x - 1 ---> raízes: x - 1 = 0 ---> x = 1

Agora vamos estudar a variação de sinais:

a) f(x) = x + 3 ...- - - - - - - - - - - - (-3)+ + + +  + + + + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = x - 1... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -  (1) + + + + + + + + + + + + + +
c) a/b ............. + + + + + + + + +(-3)- - - - - - - (1) + + + + + + + + + + + + + +

Como queremos que a divisão f(x)/g(x) seja MAIOR do que zero,então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "c" acima, que nos dá o resultado da divisão de f(x) por g(x).
Logo, só deveremos considerar os seguintes intervalos:

x < -3, ou x > 1

Como já vimos as condições de existência, então vamos trabalhar com a expressão desta questão, que é esta:
 
log₃ [(x+3)/(x-1)] = 1 ----- aplicando a definição de logaritmos, teremos:

3¹ = (x+3)/(x-1) ---- ou, invertendo-se:
(x+3)/(x-1) = 3 ---- como já vimos que "x" tem que ser menor do que "-3" ou maior do que "1", então poderemos multiplicar em cruz, pois sabemos que não estaremos multiplicando por algo que poderia ser igual a zero. Logo:

(x+3) = 3*(x-1) ------ desenvolvendo, teremos:
x + 3 = 3x - 3 ---- passando tudo o que tem "x" para o 1º membro e o que não tem para o 2º, ficaremos assim:

x - 3x = - 3 - 3
- 2x = - 6 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
2x = 6
x = 6/2

x = 3 <--- Esta é a resposta para a 6ª questão. Veja que ela atende às condições de existência (lembre-se: as condições de existência eram: ou x < -3, ou x > 1. Como deu x = 3, então está atendida a condição de existência de x > 1).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.