Question

Encontre os valores do parametro a para o qual as equações quadraticas (1 −

2a)x

2 − 6ax − 1 = 0 e ax2 − x + 1 = 0 tem ao menos uma raiz comum.

Answer 1

Olá,

Se duas equações possuem raízes comuns então, elas se igualam nesse ponto. Logo, podemos igualar as duas equações para encontrar essa raiz comum:

$(1 - 2a)x ^{2} - 6ax - 1 = ax^{2} - x + 1$

$x ^{2} - 2ax ^{2} - ax^{2}-6ax +x - 1-1 = 0$

$(1-3a)x ^{2} +(1- 6a)x - 2 = 0$

Agora, vamos resolver essa equação do segundo grau utilizando a fórmula de Bhaskara.

$x = \frac{-(1-6a) \pm \sqrt{(1-6a)^2-4.(1-3a).(-2)}}{2.(1-3a)}$

$x = \frac{-1+6a \pm \sqrt{1-12a+36a^2+8-24a}}{2-6a}$

$x = \frac{-1+6a \pm \sqrt{36a^2-36a+9}}{2-6a}$

$x = \frac{-1+6a \pm \sqrt{(6a-3)^{2}}}{2-6a}$

$x = \frac{-1+6a \pm (6a-3)}{2-6a}$

Dessa forma,

$x_1 = \frac{-1+6a + 6a-3}{2-6a}$

$x_1 = \frac{12a-4}{2-6a}$

$x_1 = \frac{6a-2}{1-3a}$

$x_2 = \frac{-1+6a - (6a-3)}{2-6a}$

$x_2 = \frac{-1+6a - 6a +3}{2-6a}$

$x_2 = \frac{2}{2-6a}$

$x_2 = \frac{1}{1-3a}$

Substituindo $x_2$ na equação $ax^{2} - x + 1 = 0$, obtemos

$ax^{2} - x + 1 = 0$

$ax_{2} ^{2} - x_2 + 1 = 0$

$a(\frac{1}{1-3a}) ^{2} - \frac{1}{1-3a} + 1 = 0$

$\frac{a}{(1-3a)^{2}} - \frac{1}{1-3a} + 1 = 0$

$\frac{a}{(1-3a)^{2}} - \frac{1-3a}{(1-3a)^{2}} + \frac{(1-3a)^{2}}{(1-3a)^{2}} = 0$

$a- (1-3a)+ (1-3a)^{2} =0$

$a- 1 +3a + 1 - 6a +9a^{2} =0$

$9a^{2} - 2a=0$

$a (9a-2)=0$

Nesse caso, $a = 0$ ou $a=\frac{2}{9}$.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Se $a = 0$:

$(1 - 2a)x ^{2} - 6ax -1 = 0$

$(1 - 2.0)x ^{2} -6.0x -1 = 0$

$x ^{2} - 1 = 0$

$x ^{2} = 1$

$x = 1$ ou $x = - 1$

e

$ax^{2} -x + 1 = 0$

$0.x^{2} - x + 1 = 0$

$- x + 1 = 0$

$x = 1$

Logo, para a = 0, ambas equações possuem pelo menos a raiz x = 1.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Se $a = \frac{2}{9}$:

$(1 - 2\frac{2}{9})x ^{2} - 6\frac{2}{9}x - 1 = 0$

$(1 - \frac{4}{9})x ^{2} - \frac{12}{9}x - 1 = 0$

$\frac{5}{9}x ^{2} - \frac{12}{9}x - \frac{9}{9} = 0$

$5x ^{2} - 12x - 9 = 0$

$x = 3$ ou $x = -0,6$

e

$ax^{2} - x + 1 = 0$

$\frac{2}{9} x^{2} -x + 1 = 0$

$\frac{2}{9} x^{2} - \frac{9}{9}x + \frac{9}{9} = 0$

$2x^{2} - 9x + 9 = 0$

$x = 3$ ou $x = 1,5$

Logo, para $a = \frac{2}{9}$, ambas equações possuem pelo menos a raiz x = 3.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Espero ter ajudado. Abraços =D