Question

Encontre os valores de "x", "y" e "z" sabendo que:

$\frac{x}{7} \times \frac{y}{11} \times \frac{z}{13} = 5!$

$\frac{x \times y}{x + y + z} = 12$

${z}^{2} = {x}^{2} + {y}^{2}$

#Cálculo e explicação

Answer 1

É dado o seguinte sistema de equações:

$\begin{cases}\dfrac{xyz}{7\times11\times 13}=5!\\\\ \dfrac{xy}{x+y+z}=12\\\\z^2=x^2+y^2\end{cases}$

Manipulando a primeira equação:

$xyz = 5!\times7\times11\times13\Longrightarrow xyz=k$

Acima, consideramos que $k=5!\times7\times11\times3$ a fim de facilitar a escrita das expressões. Continuando a manipular a equação:

$xy=\dfrac{k}{z}$

Utilizando o que obtivemos acima na segunda equação do sistema:

$\dfrac{xy}{x+y+z}=12\\\\ \dfrac{xy}{12}=x+y+z\\\\ \dfrac{k}{12z}=x+y+z\\\\ x+y=\dfrac{k}{12z}-z$

Veja que agora temos a soma, o produto e a soma dos quadrados de x e y escritos todos em função de z. Podemos simplesmente usar o produto notável abaixo e substituirmos o que já obtivemos:

$(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\\\\ (x+y)^2 = (x^2+y^2)+2xy\\\\ \left(\dfrac{k}{12z}-z\right)^2=z^2+2\cdot \dfrac{k}{z}\\\\ \dfrac{k^2}{144z^2}-2\cdot\dfrac{k}{12z}\cdot z+z^2=z^2+2\cdot \dfrac{k}{z}\\\\ \dfrac{k^2}{144z^2}-\dfrac{k}{6}+z^2=z^2+\dfrac{2k}{z}\\\\ \dfrac{k^2}{144z^2}-\dfrac{k}{6}=\dfrac{2k}{z}\\\\ \dfrac{k}{6}+\dfrac{2k}{z}-\dfrac{k^2}{144z^2}=0\\\\ 24kz^2+288kz-k^2=0\\\\ 24z^2+288z-k=0\\\\ z^2+12z-\dfrac{k}{24}=0$

$\Delta = b^2-4ac\\\\ \Delta = 12^2-4\cdot1\cdot\left(-\dfrac{k}{24}\right)= 144+\dfrac{k}{6}\\\\ \Delta = 144+\dfrac{5!\times7\times11\times13}{6}=144+4\times5\times7\times11\times13\\\\ \Delta = 4(36+5\times7\times11\times13)= 4(36+5005)\\\\ \Delta = 4\cdot5041\Longrightarrow \Delta = 2^2\cdot71^2\\\\\\ z =\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-12\pm\sqrt{2^2\cdot71^2}}{2\cdot1}=\dfrac{-12\pm2\cdot71}{2}=-6\pm71\\\\ z=-77~~\text{ou}~~z=65$

Vamos aplicar as soluções que obtivemos para z nas equações que temos:

 - Para z = -77:

$xy=\dfrac{5!\times7\times11\times13}{-77}=-\dfrac{5!\times7\times11\times13}{7\times11}\\\\ xy=120\times13 \Longrightarrow xy = 1560\\\\\\ x+y = \dfrac{5!\times7\times11\times13}{12\times(-77)}-(-77) = -\dfrac{120\times7\times11\times13}{12\times7\times11}+77\\\\ x+y = -10\times13+77=-130+77\Longrightarrow x+y = -53\\\\\\ \dfrac{xy}{x+y+z}=12\Longrightarrow \dfrac{1560}{-53-77}=12\Longrightarrow Absurdo!$


- Para z = 65:

$xy=\dfrac{5!\times7\times11\times13}{65}=\dfrac{5!\times7\times11\times13}{5\times13}\\\\ xy=4!\times7\times11 \Longrightarrow xy = 1848~~(i)\\\\\\ x+y = \dfrac{5!\times7\times11\times13}{12\times65}-65 = \dfrac{120\times7\times11\times13}{12\times5\times13}-65\\\\ x+y = 2\times7\times11-65=154-65\Longrightarrow x+y = 89~~(ii)\\\\\\ \dfrac{xy}{x+y+z}=12\Longrightarrow \dfrac{1848}{89+65}=12\Longrightarrow \dfrac{1848}{154}=12\Longrightarrow Ok!$

Usando (i) e (ii) podemos chegar aos valores de x e y:

$y = 89-x\\\\ xy= 1848\\\\ x(89-x) = 1848\\\\ x^2-89x+1848=0\\\\\\ \Delta = b^2-4ac\\\\ \Delta = (-89)^2-4\cdot1\cdot1848 = 7921 - 7392\\\\ \Delta = 529 = 23^2\\\\\ x = \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-89)\pm\sqrt{23^2}}{2\cdot1}=\dfrac{89\pm23}{2}\\\\ x = \dfrac{89+23}{2}=\dfrac{112}{2}=56~~\text{ou}~~x=\dfrac{89-23}{2}=\dfrac{66}{2}=33$

Como (i) e (ii) são equações simétricas em x e y, as respostas que obtivemos para x são as mesmas que para y (alternando-se os valores em cada uma das triplas ordenadas da solução). Assim, as solução do sistema são as triplas ordenadas a seguir:

$\boxed{(33,56,65)~~\text{e}~~(56,33,65)}$

A resposta, portanto é: (33, 56, 65) e (56, 33, 65).