Question

Encontre os valores de máximo e mínimo absolutos para a função f(x) = x - 3lnx, no intervalo [1,4].

Answer 1

     Sabemos que, se a função é contínua no intervalo dado, o máximo ou mínimo é dado no ponto em que a reta tangente é igual a zero, ou seja, quando a derivada é igual a zero.

$f(x)=x-3ln(x) \\ f'(x)=1- \frac{3}{x} \\ 1= \frac{3}{x} \\ x=3$

     Para sabermos se é máximo ou mínimo, necessitamos da derivada de segunda ordem.

$f'(x)=1- \frac{3}{x} \\ f''(x)=- \frac{(-3)}{x^2} \\ f''(x)=\frac{3}{x^2} \\ \\ f''(3)=\frac{3}{3^2} \\ f''(3)= \frac{1}{3}$

     O valor deu positivo, o que significa que é um mínimo. O máximo relativo ou está antes deste ponto ou depois, ou seja, o máximo relativo é obtido em x=1 ou x=4. Para sanar a dúvida, devemos aplicá-lo na função e comparar as ordenadas.

$\left \{ {{f(1)=1-3ln(1)-\ \textgreater \ y=1} \atop {f(4)=4-3ln(4)-\ \textgreater \ y=-0,16}} \right.$

Obs: valores aproximados.
  
     Portanto, temos:

Ordenada de Máximo Relativo: 1
Abscissa Mínimo Relativo: 3

Obs: Ratifique os resultados pelo gráfico em anexo.