Question

Encontre os números reais x e y de modo que x 2+ 4x +(x-y)i=9-y 2 + 3i. obs: x 2 é x ao quadrado e y 2 é y ao quadrado.

Answer 1

Encontrar os valores reais para $x$ e $y$, de forma que

$\left(x^{2}+4x \right )+\left(x-y \right )i=\left(9-y^{2} \right )+3i$


Os dois lados da igualdade são números complexos. Para que eles sejam iguais, as partes reais dos números devem ser iguais entre si e as partes imaginárias também, ou seja

$\bullet\;\;$ partes reais iguais:

$x^{2}+4x=9-y^{2}\;\;\;\;\text{(i)}$


$\bullet\;\;$ partes imaginárias iguais:

$x-y=3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{(ii)}$


Devemos resolver o sistema formado pelas equações $\text{(i)}$ e $\text{(ii)}$:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x^{2}+4x&=&9-y^{2}\\ \\ x-y&=&3 \end{array} \right.$


Isolando $x$ na segunda equação e substituindo na primeira, temos

$x=3+y\\ \\ \\ \left(3+y \right )^{2}+4\cdot \left(3+y \right )=9-y^{2}\\ \\ 9+6y+y^{2}+12+4y=9-y^{2}\\ \\ y^{2}+6y+4y+9+12-9+y^{2}=0\\ \\ 2y^{2}+10y+12=0\\ \\ 2\cdot \left(y^{2}+5y+6 \right )= 0\\ \\ y^{2}+5y+6=0\\ \\ y^{2}+2y+3y+6=0\\ \\ y \cdot \left(y+2 \right )+3\cdot \left(y+2 \right )=0\\ \\ \left(y+2 \right )\cdot \left(y+3 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} y+2=0&\text{ ou }&y+3=0 \end{array}\\ \\ \boxed{ \begin{array}{rcl} y=-2&\text{ ou }&y=-3 \end{array} }$


$\bullet\;\;$ Para $y=-2$, temos que

$x=3+\left(-2 \right )\\ \\ x=3-2\\ \\ \boxed{x=1}$


$\bullet\;\;$ Para $y=-3$, temos que

$x=3+\left(-3 \right )\\ \\ x=3-3\\ \\ \boxed{x=0}$


Temos duas soluções possíveis:

$\left(x,\,y \right )=\left(1,\,-2 \right )\\ \\ \left(x,\,y \right )=\left(0,\,-3 \right )$