Question

Encontre o vetor unitário perpendicular à superfície $x^2+y^2+z^2=3$ no ponto (1, 1, 1).

Derive a equação do plano tangente à superfície em (1, 1, 1)

resposta:
a) 
$\displaystyle \frac{\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{3}}$

b) $x+y+z=3$

Answer 1

a) Como a superfície dada é uma esfera, temos que um vetor normal a qualquer ponto da superfície possui direção radial e sentido "para fora" da esfera. Isto é, um vetor normal a qualquer ponto P da superfície é múltiplo do vetor que vai do centro O da esfera (no caso, a origem dos eixos) até P. Vamos descobrir, então, o vetor $\overrightarrow{OP}$ que liga o ponto $O=(0,0,0)$ ao ponto $P=(1,1,1)$:

$\overrightarrow{OP}=P-O\\\\ \overrightarrow{OP}=(1,1,1)-(0,0,0)\\\\ \overrightarrow{OP}=(1,1,1)$

Queremos o vetor unitário de mesma direção e sentido que o obtido acima. Então, se $\vec u$ é o vetor unitário que queremos:

$\vec u=\dfrac{\overrightarrow{OP}}{||\overrightarrow{OP}||}\\\\ \vec u=\dfrac{(1,1,1)}{||(1,1,1)||}\\\\ \vec u=\dfrac{(1,1,1)}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}\\\\ \vec u=\dfrac{(1,1,1)}{\sqrt{1+1+1}}\\\\ \vec u=\dfrac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}\\\\ \boxed{\vec u=\dfrac{\hat i+\^j+\^k}{\sqrt{3}}}$

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b) Para definirmos a equação de um plano tangente a uma superfície, basta que tenhamos um ponto $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ do plano e um vetor normal $\vec n$ a esse plano. Tome $P=(x,y,z)$ como um ponto qualquer do plano que queremos encontrar. Como $P$ e $P_0$ estão no plano e $\vec n$ é normal a esse plano, o vetor $\overrightarrow{P_0P}$ é ortogonal a $\vec n$. Assim:

$\overrightarrow{P_0P}\cdot\vec n=0\\\\ (P-P_0)\cdot\vec n=0\\\\ ((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0))\cdot\vec n=0\\\\ (x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot\vec n=0$

Vamos usar a fórmula acima, tomando $\vec n=\vec u$ obtido no item anterior e $P_0=(1,1,1)$, para obtermos o plano $\pi$ pedido:

$(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot\vec n=0\\\\ (x-1,y-1,z-1)\cdot\vec u=0\\\\ (x-1,y-1,z-1)\cdot\dfrac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}=0\\\\ (x-1,y-1,z-1)\cdot(1,1,1)=0\\\\ (x-1)\cdot1+(y-1)\cdot1+(z-1)\cdot1=0\\\\ x-1+y-1+z-1=0\\\\ \boxed{\pi:~x+y+z=3}$