Question

Encontre o valor da integral definida ∫₀¹ (√x+3x²-2x)dx, e assinale a alternativa correta:
Alternativa 1:
0

Alternativa 2:
1

Alternativa 3:
1/3

Alternativa 4:
1/2

Alternativa 5:
2/3

Answer 1

Resposta:

A opção correta é a Alternativa 5.

Explicação passo a passo:

Para o cálculo da integral definida utilizamos a seguinte definição:

$\int\limits^b_a {f(x}) \, dx =F(b)-F(a)$

onde "a" e "b" são os limites de integração e F(x) é a primitiva de f(x).

Como a integral significa soma podemos calcular a integral dada separando as parcelas da soma da seguinte forma:

$\int\limits^1_0 {(\sqrt{x}+3x^2-2x)} \, dx =\int\limits^1_0 {\sqrt{x}} \, dx +3\cdot \int\limits^1_0 {x^2} \, dx-2\cdot \int\limits^1_0 {x} \, dx$

• Cálculo da 1ª integral:

$\int\limits^1_0 {x^{\frac{1}{2}}} \, dx =\dfrac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}|_0^1=\dfrac{2}{3}$

• Cálculo da 2ª integral:

$\int\limits^1_0 {x^2} \, dx =\dfrac{x^3}{3}|_0^1=\dfrac{1}{3}$

• Cálculo da 3ª integral:

$\int\limits^1_0 {x} \, dx =\dfrac{x^2}{2}|_0^1=\dfrac{1}{2}$

Substituindo na integral inicial temos:

$\int\limits^1_0 {(\sqrt{x}+3x^2-2x)} \, dx =\int\limits^1_0 {\sqrt{x}} \, dx +3\cdot \int\limits^1_0 {x^2} \, dx-2\cdot \int\limits^1_0 {x} \, dx=\dfrac{2}{3}+3\cdot \dfrac{1}{3}-2\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3}$