Question

Encontre o menor inteiro positivo n que possui as seguintes propriedades:
I. Em sua representação, tem 6 como último dígito.
II. Se o último dígito (6) é apagado e colocado na frente dos dígitos restantes, o número resultante é quatro vezes maior que o número original.

Answer 1

O menor inteiro positivo que possui essas propriedades é o número 153.846.

• Considere um número inteiro positivo com uma sequência de algarismos representada por X e último algarismo 6, então o número pode ser representado por X6.

• Se o último dígito (6) é apagado e colocado na frente dos dígitos restantes (X6 se torna 6X), o número resultante (6X) é quatro vezes maior que o número original (X6), então:

6X = 4 ⋅ X6 ①

Observe que:

• No número 6X, se X tem n algarismos então o algarismo 6 está na ordem n+1, portanto ele vale 6·10ⁿ, e n deve ser maior ou igual a 1, então:

6X = 6⋅10ⁿ + X ⟹ n≥1 (número 6X tem pelo menos 2 algarismos).

• O número X6 vale 10 vezes X mais 6.

X6 = 10⋅X + 6

• Substitua os valores de 6X e X6 na equação ①.

6X = 4 ⋅ X6 ①

6⋅10ⁿ + X = 4 ⋅ (10⋅X + 6) ⟹ Multiplique no segundo membro.

6⋅10ⁿ + X = 40⋅X + 24 ⟹ Subtraia X de ambos os membros.

6⋅10ⁿ = 39⋅X + 24 ⟹ Subtraia 24 de ambos os membros.

6⋅10ⁿ − 24 = 39⋅X ⟹ Fatore o primeiro membro.

6⋅(10ⁿ − 4) = 39⋅X ⟹ Divida ambos os membros por 3.

2⋅(10ⁿ − 4) = 13⋅X ⟹ Divida ambos os membros por 13.

$\large \sf X = \dfrac{2}{13} \cdot (10^n -4)$

• É pedido o menor inteiro positivo. Substitua n por números Naturais (n ≥ 1) até obter X inteiro positivo.

para n = 1:

$\large \text { \sf X = \dfrac{2}{13} \cdot (10^1 -4) = \dfrac{2}{13} \cdot 6 = \dfrac{12}{13} \qquad \Longrightarrow \qquad \sf N\~ao \'e inteiro.}$

para n = 2:

$\large \text { \sf X = \dfrac{2}{13} \cdot (10^2 -4) = \dfrac{2}{13} \cdot 96 = \dfrac{192}{13} \qquad \Longrightarrow \qquad \sf N\~ao \'e inteiro.}$

para n = 3:

$\large \text { \sf X = \dfrac{2}{13} \cdot (10^3 -4) = \dfrac{2}{13} \cdot 996=\dfrac{1992}{13} \qquad \Longrightarrow \qquad \sf N\~ao \'e inteiro.}$

⋮ … para resumir vou direto para n = 6.

para n = 6:

$\large \sf X = \dfrac{2}{13} \cdot (10^6 -4) = \dfrac{2}{13} \cdot 999.996 = 15384$

• Acrescente a X o algarismo 6 como último dígito: 153.846

O menor inteiro positivo que possui essas propriedades é o número 153.846.

Confira:

6X = 4 ⋅ X6

615.384 = 4 ⋅ 153.846

615.384 = 615.384 (Verdadeiro)

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