Question

Encontre as coordenadas do vértice (abscissa e ordenada) para cada função abaixo: a) y = x² - 4x – 5 b) y = x² - 7x + 10 c) y = - x² + 3x – 2.

Answer 1

Resposta:

As coordenadas dos vértices são:

a) V = (2, - 9);

b) V = (7/2 , - 9/4);

c) V = (3/2, 1/4).

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão podemos proceder de algumas formas diferentes:

• Forma Canônica - Utilizando o método de completar quadrados conseguimos reescrever a função quadrática y = ax² + bx + c na forma canônica y - y₀ = a . (x - x₀) onde as coordenadas do vértice são V(x₀ , y₀).

• Ponto Médio - Como o gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola, que tem como x do vértice eixo de simetria e como as raízes são equidistantes do eixo, basta determinar o ponto médio que vamos obter x₀ e para encontrar y₀ substituímos x₀ na função.

• Derivada - A derivada da função quadrática fornece o equação da reta tangente a parábola, mas como queremos as coordenadas do vértice e este é um ponto de máximo ou mínimo devemos ter essa derivada nula.

Dadas as funções temos:

a) y = x² - 4x – 5

Forma Canônica

Completando Quadrados

y + 5 = x² - 4x       (para termos um trinômio quadrado perfeito no segundo membro devemos somar 4 em ambos os membros.

y + 5 + 4 = x² - 4x + 4

y + 9 = (x - 2)²

Cujas coordenadas do vértice são V = (2, - 9)

b) y = x² - 7x + 10

Pela soma S = 7 e P = 10, logo as raízes são 2 e 5 cujo ponto médio é x₀ = 7/2, substituindo na função

y₀ = (7/2)² - 7 . (7/2) + 10

y₀ = 49/4 - 49/2 +10  Reduzindo todos ao mesmo denominador.

y₀ = 49/4 - 98/4 + 40/4

y₀ = - 9/4

As coordenadas são V = (7/2 , - 9/4).

c) y = - x² + 3x – 2.

Derivando a função e igualando a zero temos:

y' = - 2x₀ + 3 = 0

x₀ = 3/2 substituindo na função

y₀ = - (3/2)² + 3 . 3/2 - 2

y₀ = - 9/4 + 9/2 - 2

y₀ = - 9/4 + 18/4 - 8/4

y₀ = 1/4

V = (3/2, 1/4)