Question

Encontre a equação cartesiana e paramétrica do plano π que contém o ponto A(1, −1, 0) e é paralelo aos vetores ⃗u = (3, −1, 4) e ​ ⃗v = (1, 0, −1).

Answer 1

• Equação Cartesiana:

Vamos iniciar esse cálculo encontrando a equação cartesiana do plano. Inicialmente vamos nomear um ponto $\sf P(x,y,z)$ qualquer pertencente ao plano, pois como sabemos a equação cartesiana é dada pelo produto escalar entre o vetor normal ao plano e o vetor formado por um ponto conhecido e outro desconhecido.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf \vec{n} \: \cdot \: \vec{AP} = 0}$

• Vetor AP:

O vetor $\sf \vec{AP}$ pode ser calculado pela subtração do ponto final pelo inicial, isto é, o ponto P subtraído do A.

$\sf \vec{AP} = P - A \: \: \to \: \: \vec{AP} = (x,y,z) - (1, - 1,0) \\ \\ \sf\vec{AP} = (x - 1, \: y + 1, \: z)$

• Vetor normal (n):

A questão nos fornece dois vetores que são paralelos ao plano, ou seja, podemos calcular o produto vetorial dos dois, pois como sabemos o produto vetorial gera um outro vetor que é perpendicular aos vetores envolvidos.

$\sf \vec{n} = \vec{u} \: \times \: \vec{v} \: \: \to \: \: \vec{n} = \begin{bmatrix} \sf i& \sf j& \sf k \\ \sf u_{x}& \sf u_{y} & \sf u_{z} \\ \sf v_{x}& \sf v_{y} & \sf v_{z} \end{bmatrix} \\ \\ \sf \vec{n} = \begin{bmatrix} \sf i& \sf j& \sf k \\ \sf 3& \sf - 1 & \sf 4 \\ \sf 1& \sf 0 & \sf - 1 \end{bmatrix} \: \to \: \vec{n} = \sf 1i + 7j + 1k$

Substituindo o vetor normal e o vetor AP na fórmula, temos então que a equação cartesiana é:

$\sf (1, \: 7, \: 1) \: \cdot \: (x - 1, \: y + 1, \: z) = 0 \\ \sf 1.(x - 1) + 7.(y + 1) + 1.z = 0 \\ \sf x - 1 + 7y + 7 + z = 0 \\ \boxed{ \sf x + 7y + z + 6 = 0}$→ Portanto esta é a equação cartesiana do plano.

• Equações Paramétricas:

Para a equação paramétrica, devemos apenas lembrar da equação vetorial do plano:

$\: \: \: \: \: \boxed{\sf (x,y,z) = A + \lambda_1\vec{u}+\lambda_2\vec{v}}$

Substituindo os dados que possuímos:

$\sf (x,y,z) = (1,-1,0) + \lambda_1 \cdot (3,-1,4)+\lambda_2 \cdot (1,0,-1) \\ \sf (x,y,z) = (1,-1,0) + (3 \lambda_1,-1\lambda_1 ,4 \lambda_1 ) + (1\lambda_2 ,0 \lambda_2 ,-1 \lambda_2 ) \\ \sf (x,y,z) = (3\lambda_1 + \lambda_2 + 1, \: - 1\lambda_1 - 1 , \: 4\lambda_1 - 1\lambda_2) \\ \sf\pi : \begin{cases} \sf x = 3 \lambda_1 + \lambda_2 + 1 \\ \sf y = -1 \lambda_1 - 1 \\ \sf z =4\lambda_1 - \lambda_2\end{cases}$

Espero ter ajudado