Question

Encontre a área limitada pelas curvas y=x²-1 e y=x+1

Answer 1

ya = x²-1
yb = x+1

calculando o intervalo 
onde ya = yb

$x^2-1 = x+1\\\\x^2-x-2 =0\\\\\boxed{x'= -1}\boxed{ x''=2}$

o intervalo é de -1 a 2
...........................................
neste intervalo a reta limita a area por cima 
e a parabola por baixo
logo a area será dada por 

$\boxed{ \int\limits^a_b {yb-ya} \, dx} \\\\ \\\ = \int\limits^2_{-1}{x+1-(x^2-1)} \, dx$

$\int\limits^2_{-1}{-x^2+x+2} \, dx \\\\=| \frac{-x^3}{3}+ \frac{x^2}{2}+2x|^2_{-1} \\\\\boxed{\boxed{( \frac{-(2^3)}{3}+ \frac{2^2}{2}+2*(2)) -( \frac{-(-1^3)}{3}+ \frac{(-1)^2}{2}+2(-1))= \frac{9}{2} u.a}}$

area = 9/2 = 4,5

Answer 2

A área limitada pelas curvas é igual a 9/2 u.a.

Integral

Para o cálculo de integrais, devemos utilizar várias regras e métodos para resolver tais problemas.

Para determinar a área abaixo das curvas dadas por y = x² - 1 e y = x + 1, teremos que determinar os pontos de interseção:

x² - 1 = x + 1

x² - x - 2 = 0

x' = -1 e x'' = 2

Logo, os limites de integração são -1 e 2. A reta y = x + 1 é superior à parábola x² - 1 neste intervalo, logo:

$A=\displaystyle\int\limits^2_{-1} {(x + 1) - (x^2 - 1)} \, dx$

Reescrevendo a integral, teremos:

$A=\displaystyle\int\limits^2_{-1} {-x^2 + x + 2} \, dx$

Pela integração de polinômios, obtemos:

$A=\left(-\dfrac{x^3}{3} +\dfrac{x^2}{2} +2x\right)|^2_{-1}$

A área limitada pelas curvas é igual a:

A = -2³/3 + 2²/2 + 2·2 - (-(-1)³/3 + (-1)²/2 + 2·(-1))

A = -9/3 + 2 + 4 - (-1/3 + 1/2 - 2)

A = -3 - 1/2 + 8

A = 9/2 u.a.

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