Question

Encontrar a projeção de v sobre u.u=(1,2,_2) e v =(3,_2,1)

Answer 1

Olá


$\vec{u}=(1, 2, -2)\\\\\vec{v}=(3, -2, 1)$



Podemos calcular a projeção de 'v' em 'u', a partir da seguinte fórmula


$\displaystyle Proj^{\vec{v}}_{\vec{u}}~=~ \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\vec{u}\cdot \vec{u}}\cdot \vec{u}$


Substituindo os vetores


$\displaystyle Proj^{\vec{v}}_{\vec{u}}~=~\mathsf{ \frac{(1, 2, -2)\cdot (3, -2, 1)}{(1, 2, -2)\cdot (1, 2, -2)}\cdot (1, 2, -2) }$


Faz o produto escalar no numerador e no denominador


$\displaystyle Proj^{\vec{v}}_{\vec{u}}~=~\mathsf{ \frac{1\cdot 3+2\cdot(-2)-2\cdot 1}{1\cdot1+2\cdot2-2\cdot(-2)}\cdot (1, 2, -2) }\\\\\\\\Proj^{\vec{v}}_{\vec{u}}~=~\mathsf{ \frac{3-4-2}{1+4+4}\cdot (1, 2, -2) }\\\\\\\\Proj^{\vec{v}}_{\vec{u}}~=~\mathsf{ -\frac{1}{3}\cdot (1, 2, -2) }$


Agora multiplica o escalar -1/3 pelo vetor u

$\displaystyle Proj^{\vec{v}}_{\vec{u}}~=~\mathsf{ \left(-\frac{1}{3}\cdot 1,~-\frac{1}{3}\cdot 2,~- \frac{1}{3}\cdot (-2)\right) }\\\\\\\\\boxed{Proj^{\vec{v}}_{\vec{u}}~=~\mathsf{ \left(-\frac{1}{3},~-\frac{2}{3},~ \frac{2}{3}\right) }}\qquad\qquad\Longleftarrow\qquad\text{Esse e o vetor projecao}$