Question

encontrar a área da região limitada pelas curvas y= x²+1 e y = 2x-2 entre x=-1 e x=2. E o desenho do gráfico.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{9~u.~a}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para encontrarmos a área da região limitada pelas curvas, utilizaremos integrais duplas.

Seja $D$ a região limitada pelas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas em um intervalo $[a,~b]$. A área desta região pode ser calculada pela integral dupla: $\displaystyle{\int\int_D\,dA$.

De acordo com o Teorema de Fubini, podemos considerar o elemento de área $dA=dydx$. A ordem de integração não é importante, contanto que se façam as devidas mudanças: os limites de integração em respeito à última variável a ser integrada devem ser numéricos.

Assim, ao esboçarmos o gráfico destas funções e analisarmos seus comportamentos no intervalo $[a,~b]$, ao constatarmos que $f(x)>g(x)$ em todo o intervalo, nossa integral se torna: $\displaystyle{\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx$.

Sejam as curvas $y=x^2+1$ e $y=2x-2$. Devemos encontrar a área da região limitada pelas curvas no intervalo $-1\leq x\leq 2$.

Veja a imagem em anexo: as curvas foram esboçadas no plano cartesiano. Pode-se observar que, neste intervalo, $x^2+1>2x-2$, logo nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int_{-1}^2\int_{2x-2}^{x^2+1}\,dy\,dx$

Calcule a integral mais interna, de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_{2x-2}^{x^2+1}\,dy=\int_{2x-2}^{x^2+1}y^0\,dy=y~\biggr|_{2x-2}^{x^2+1}=x^2+1-(2x-2)$.

Assim, teremos:

$\displaystyle{\int_{-1}^2x^2+1-(2x-2)\,dx$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os valores

$\displaystyle{\int_{-1}^2x^2-2x+3\,dx$

Calcule a integral, utilizando a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq -1$.

$\dfrac{x^3}{3}-x^2+3x~\biggr|_{-1}^2$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{2^3}{3}-2^2+3\cdot2-\left(\dfrac{(-1)^3}{3}-(-1)^2+3\cdot(-1)\right)$

Calcule as potências e multiplique os valores

$\dfrac{8}{3}-4+6-\left(-\dfrac{1}{3}-1-3\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\dfrac{8}{3}-4+6+\dfrac{1}{3}+1+3$

Some os valores

$9$

Esta é a área da região limitada por estas curvas neste intervalo.