Question

 Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição B e uma bola vermelha na posição V, conforme o esquema da  foto. Deve- se jogar abola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha. Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e de reflexão são iguais, a que distancia x do vértice Q deve-se jogar a bola branca?

Answer 1

Podemos ver claramente na figura que a trajetória da bola forma 3 triângulos retângulos com a mesa.

Obs.: Para facilitar a explicação, vamos considerar as anotações feitas na figura anexada à resposta.

Nos triângulos Vermelho e Verde, se os ângulos de incidência e reflexão (ângulos α na figura) são iguais, então pela soma dos ângulos internos do triangulo, podemos afirmar que os respectivos terceiros ângulos são, também, iguais (ângulos β na figura).

Da mesma forma, podemos afirmar que, no triangulo Azul, temos os ângulos α e β dispostos como é mostrado na figura.

Com isso então, concluímos que os três triângulos são semelhantes.

Vamos então montar as relações entre as medidas desses triângulos.

Entre os triângulos Vermelho e Verde:

$\dfrac{^{Lado~oposto~ao~angulo}_{~~~~\alpha~\triangle~vermelho}}{^{Lado~oposto~ao~angulo}_{~~~~~~~\alpha~\triangle~verde}}~=~\dfrac{^{Lado~oposto~ao~angulo}_{~~~~\beta~\triangle~vermelho}}{^{Lado~oposto~ao~angulo}_{~~~~~~~\beta~\triangle~verde}}\\\\\\Substituindo~os~valores\\\\\\\dfrac{0,90}{y}~=~\dfrac{1,20-x}{x}\\\\\\Multiplicando~cruzado\\\\\\0,90x~=~y\cdot(1,20-x)\\\\\\\boxed{y~=~\dfrac{0,90x}{1,20-x}}~~\rightarrow~~Equacao~1$

Entre os triângulos Verde e Azul:

$\dfrac{^{Lado~oposto~ao~angulo}_{~~~~~~~\alpha~\triangle~Azul}}{^{Lado~oposto~ao~angulo}_{~~~~~~~\alpha~\triangle~verde}}~=~\dfrac{^{Lado~oposto~ao~angulo}_{~~~~~~~\beta~\triangle~Azul}}{^{Lado~oposto~ao~angulo}_{~~~~~~~\beta~\triangle~verde}}\\\\\\Substituindo~os~valores\\\\\\\dfrac{0,80-y}{y}~=~\dfrac{0,40}{x}\\\\\\Multiplicando~cruzado\\\\\\0,40y~=~x\cdot(0,80-y)\\\\\\0,40y+xy~=~0,80x\\\\\\y(0,40+x)~=~0,80x\\\\\\\boxed{y~=~\dfrac{0,80x}{0,40+x}}~~\rightarrow~~Equacao~2$

Podemos agora igualar as medidas "y" achadas na equação 1  e equação 2:

$\dfrac{0,90x}{1,20-x}~=~\dfrac{0,80x}{0,40+x}\\\\\\Pra~evitar~numeros~decimais,~vamos~multiplicar~os~numeradores~e\\denominadores~por~10\\ \\\\\dfrac{9x}{12-10x}~=~\dfrac{8x}{4+10x}\\\\\\Multiplicando~cruzado\\\\\\9x.(4+10x)~=~8x.(12-10x)\\\\\\36x+90x^2~=~96x-80x^2\\\\\\90x^2+80x^2+36x-96x~=~0\\\\\\170x^2-60x~=~0\\\\\\x.(170x-60)~=~0\\\\\\\boxed{x~=~0}~~~\rightarrow~~~Nao~serve~(medida~nula)\\\\\\170x-60~=~0\\\\\\x~=~\dfrac{60}{170}$

$\boxed{x~=~\dfrac{6}{17}}~~~\checkmark$

Resposta: A bola deve ser jogada a 6/17 metros do vértice Q ou, aproximadamente, 0,35 metros.