Question

Em um triângulo, um lado mede (√3-1)m e o ângulo oposto ao lado de medida √6 m vale 120°. Calcule as medidas do terceiro lado e do ângulo oposto a esse lado

Answer 1

Lei dos senos:

$\frac{ \sqrt{6} }{sen120}= \frac{ \sqrt{3}-1 }{senx} \\ \\ \frac{ \sqrt{6} }{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } = \frac{ \sqrt{3} -1}{senx} \\ \\ \frac{2\sqrt{6} }{ \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{3}-1 }{senx} \\ \\ 2 \sqrt{6}senx=3- \sqrt{3} \\ \\ senx= \frac{3- \sqrt{3} }{2 \sqrt{6} } //////racionalizando: \sqrt{6} \\ \\ senx= \frac{3 \sqrt{6}- \sqrt{3} \sqrt{6} }{2 \sqrt{6} \sqrt{6} } \\ \\ senx= \frac{3 \sqrt{6}- \sqrt{18} }{2.6} ////////Lembre-se: \sqrt{18}= \sqrt{2.3.3} =3 \sqrt{2}$
$senx= \frac{3 \sqrt{6}-3 \sqrt{2} }{12} \\ \\ senx= \frac{3( \sqrt{6}- \sqrt{2}) }{12} \\ \\ senx= \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4} \\ \\ x= 15 graus$.

Como o ângulo oposto a $\sqrt{3}-1$ é de 15º, então:
180º= 120º+15º+y
y= 180-135
y=45º

Para descobrir o lado oposto de 45º, Lei dos senos novamente:
$\frac{ \sqrt{6} }{sen120} = \frac{y}{sen45} \\ \\ \frac{ \sqrt{6} }{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } = \frac{y}{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } \\ \\ \frac{ \sqrt{6} }{ \sqrt{3} }= \frac{y}{ \sqrt{2} } \\ \\ \sqrt{6}. \sqrt{2}= \sqrt{3}y \\ \\ y= \frac{ \sqrt{12} }{ \sqrt{3} } Racionalizando: \sqrt{3} \\ \\ y= \frac{ \sqrt{12} \sqrt{3} }{ \sqrt{3} \sqrt{3} } \\ \\ y= \frac{ \sqrt{36} }{3} \\ \\ y= \frac{6}{3} \\ \\ y= 2$

Resposta: 45º e lado oposto medindo 2