Question

Em um triângulo retângulo cujos lados estão p.a o valor do cosseno do maior ângulo agudo vale
Me ajudar Pfvr

A) 3/4

B)3/5

C)4/3

D)4/5

E)5/4

Answer 1

Se os lados estão em progressão aritmética, então:

$P.A. = \left[\ell-r, \ell, \ell + r\right]$

Aqui, escolhi de chamar de $\ell$ o termo central para facilitar mais para frente

Aqui $r$ é a razão da P.A.

Segundo o teorema de Pitágoras, a hipotenusa (maior lado) ao quadrado é igual a soma dos catetos ao quadrado:

$\text{hipotenusa}^2 = \text{cateto}_1^2 + \text{cateto}_2^2$

Substituindo a hipotenusa por $\ell + r$ e os dois catetos por $\ell$ e $\ell - r$:

$(\ell + r)^2 = \ell^2 + (\ell-r)^2$

$(\ell + r)\cdot (\ell + r) = \ell^2 + (\ell-r) \cdot (\ell-r)$

Fazendo as multiplicações:

$\ell^2 + 2 \cdot \ell \cdot \r + r^2 = \ell^2 + \ell^2 - 2 \cdot \ell\cdot r + r^2$

$\ell^2 - 2 \cdot \ell^2 + 2 \cdot \ell \cdot r + 2 \cdot \ell \cdot r + r^2 - r^2 = 0$

$-\ell^2 + 4 \cdot \ell \cdot r= 0$

$\ell^2 = 4 \cdot \ell \cdot r$

Dividindo ambos os lados por $\ell$:

$\dfrac{\ell^2}{\ell} = \dfrac{4 \cdot \ell \cdot r}{\ell}$

$\ell = 4 \cdot r$

Neste triângulo temos dois cossenos possíveis, um para o ângulo entre os lados $\ell+r$ e $\ell-r$:

$cos(\alpha) = \dfrac{\text{cateto adjascente}}{\text{hipotenusa}}$

Neste caso, o cateto adjascente é o $\ell-r$:

$cos(\alpha) = \dfrac{\ell -r}{\ell+r}$

Sabendo que: $\ell = 4 \cdot r$. Podemos substituir:

$cos(\alpha) = \dfrac{4 \cdot r -r}{4 \cdot r+r}$

$cos(\alpha) = \dfrac{3 \cdot r}{5 \cdot r}$

$cos(\alpha) = \dfrac{3}{5}$

E o outro cosseno corresponde ao ângulo entre os lados $\ell$ e $\ell+r$. Neste caso, o cateto adjascente é o $\ell$:

$cos(\beta) = \dfrac{\ell}{\ell+r}$

Sabendo que: $\ell = 4 \cdot r$. Podemos substituir:

$cos(\beta) = \dfrac{4 \cdot r}{4 \cdot r+r}$

$cos(\beta) = \dfrac{4 \cdot r}{5 \cdot r}$

$\boxed{cos(\beta) = \dfrac{4}{5}}$

Então o cosseno de beta é o maior. Alternativa D