Question

Alguém me ajuda com a 10 pfvr

Answer 1

Um hexágono pode ser dividido em seis triângulos equiláteros (todos os ângulos iguais a 60°), cujo lado mede L. Eu representei um destes triângulos na figura em anexo.

Aqui, cada um destes triângulos equiláteros podem ser divididos em dois triângulos retângulos idênticos, a altura de cada um destes triângulos é chamada de "apótema", a. x é o segmento que parte do centro do hexágono até cada um dos vértices e formará a hipotenusa do triângulo retângulo.

Chamarei as medidas do maior hexágono como: $L_1$, $a_1$ e $x_1$. Pelo Teorema de Pitágoras:

$x_1^2 = a_1^2 + \left(\dfrac{L_1}{2}\right)^2$

Sabendo que o ângulo do triângulo retângulo é 30°:

$x_1 \cdot cos(30\textdegree) = a_1$

$x_1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = a_1$

$x_1= \dfrac{2 \cdot a_1}{\sqrt{3}}$

$x_1= \dfrac{2 \cdot a_1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$x_1= \dfrac{2 \cdot \sqrt{3} \cdot a_1}{3}$

Substituindo no Teorema de Pitágoras:

$\left(\dfrac{2 \cdot \sqrt{3} \cdot a_1}{3}\right)^2 = a_1^2 + \dfrac{L_1^2}{4}$

$\dfrac{4 \cdot 3 \cdot a_1^2}{9} - a_1^2 = \dfrac{L_1^2}{4}$

$\dfrac{12 \cdot a_1^2}{9} - \dfrac{9 \cdot a_1^2}{9} = \dfrac{L_1^2}{4}$

$\dfrac{3 \cdot a_1^2}{9}= \dfrac{L_1^2}{4}$

$a_1^2 = \dfrac{9 \cdot L_1^2}{3 \cdot 4}$

$a_1^2 = \dfrac{9 \cdot L_1^2}{12}$

$a_1^2 = \dfrac{3 \cdot L_1^2}{4}$

Aplicando a raiz quadrada dos dois lados:

$\sqrt{a_1^2} = \sqrt{\dfrac{3 \cdot L_1^2}{4}}$

$a_1 = \dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{L_1^2}}{\sqrt{4}}$

$a_1 = \dfrac{\sqrt{3} \cdot L_1}{2}$

A área de um hexágono regular pode ser calculada pela metade do produto entre o apótema e o perímetro.

Como é regular (todos os lados iguais) e tem 6 lados, o perímetro será:

$P_1 = 6 \cdot L_1$

Assim, a área do maior hexágono será:

$A_1 = \dfrac{6 \cdot L_1 \cdot a_1}{2}$

$A_1 =\dfrac{6 \cdot L_1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3} \cdot L_1}{2}$

$A_1 =\dfrac{3 \cdot \sqrt{3} \cdot L_1^2}{2}$

Agora, note que no segundo hexágono:

$x_2 = a_1 = \dfrac{\sqrt{3} \cdot L_1}{2}$

$L_2 = a_1$

Assim, se aplicarmos o Teorema de Pitágora para um dos triângulos retângulos originados pelo segundo hexágono:

$x_2^2 = a_2^2 + \left(\dfrac{L_2}{2}\right)^2$

Substituindo:

$a_1^2 = a_2^2 + \dfrac{a_1^2}{4}$

$\dfrac{4 \cdot a_1^2}{4} - \dfrac{a_1^2}{4} = a_2^2$

$\dfrac{3 \cdot a_1^2}{4}= a_2^2$

$a_2 = \dfrac{\sqrt{3} \cdot a_1}{2}$

Assim, a área do 2° hexágono será:

$A_2 = \dfrac{6 \cdot L_2 \cdot a_2}{2}$

Substituindo:

$A_2 = \dfrac{6 \cdot a_1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3} \cdot a_1}{2}$

$A_2 = \dfrac{3 \cdot \sqrt{3} \cdot a_1^2}{2}$

$A_2 = \dfrac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{3 \cdot L_1^2}{4}$

$A_2 = \dfrac{9 \cdot \sqrt{3} \cdot L_1^2}{8}$

Ou:

$A_2 = \dfrac{3}{4} \cdot A_1$

Agora, se seguirmos o mesmo processo para o terceiro hexágono, o quarto e assim por diante verá que:

$A_3 = \dfrac{3}{4} \cdot A_2$

$A_4 = \dfrac{3}{4} \cdot A_3$

... Até o infinito.

Ou seja, a área em preto será:

$A_p = A_1 - A_2 + A_3 - A_4 + A_5 - A_6 + ....$

$A_p = A_1 - \dfrac{3}{4} \cdot A_1 + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2\cdot A_1 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^3\cdot A_1 + \left(\dfrac{3}{4}\right)^4\cdot A_1 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^5\cdot A_1 + ....$

A área em preto é a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita com primeiro termo igual a $a_1 =A_1$ e razão $q =-\dfrac{3}{4}$:

Essa soma pode ser calculada por:

$S_n = \dfrac{a_1}{1 - q}$

Substituindo:

$S_n = \dfrac{A_1}{1 - \left(-\dfrac{3}{4}\right)}$

$S_n = \dfrac{A_1}{\dfrac{4}{4} + \dfrac{3}{4}}$

$S_n = \dfrac{A_1}{\dfrac{7}{4}}$

$S_n = \dfrac{4 \cdot A_1}{7}$

Escrevendo $A_1$ em função de $L_1$:

$S_n = \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3 \cdot \sqrt{3} \cdot L_1^2}{2}$

$\boxed{S_n = \dfrac{6 \cdot \sqrt{3} \cdot L_1^2}{7}}$

Alternativa A