Question

Em um triângulo isósceles, cujos lados medem, em centímetros, x,x e 30, a altura relativa
ao lado de medida 30 mede 20 cm. As medidas das alturas relativas aos outros dois lados são:

Answer 1

Olá Simone!

Resposta:

$\boxed{\boxed{\mathtt{24 \, cm}}}$

Explicação passo-a-passo:

- Trace a altura relativa ao segmento $\displaystyle \mathtt{AB}$;

Obs1.: uma vez que o triângulo é isósceles, temos que a altura desse segmento também é mediana e bissetriz, portanto $\displaystyle \mathtt{AM \equiv MB}$.

- Note que o $\displaystyle \mathtt{\Delta AMC}$ é retângulo, desse modo, podemos determinar o valor de $\displaystyle \mathtt{x}$. Segue,

$\\ \displaystyle \mathsf{x^2 = 20^2 + 15^2} \\\\ \mathsf{x^2 = 400 + 225} \\\\ \mathsf{x^2 = 625} \\\\ \mathsf{x^2 = 25^2} \\\\ \boxed{\mathsf{x = 25}}$

- Trace a altura relativa ao lado de medida 25cm. CUIDADO!! essa altura NÃO é também mediana e bissetriz! Assim, tome $\displaystyle \mathtt{BN = y}$; com efeito, $\displaystyle \mathtt{NC = 25 - y}$.

- Por conseguinte, repare que os triângulos $\displaystyle \mathtt{ABN}$ e $\displaystyle \mathtt{ANC}$ são retângulos em $\displaystyle \mathtt{N}$, portanto, aplicando o T. de Pitágoras neles, tiramos as duas equações abaixo, veja:

$\\ \displaystyle \mathtt{30^2 = h^2 + y^2 \qquad \qquad \qquad \qquad (i)} \\\\ \mathtt{25^2 = (25 - y)^2 + h^2 \qquad \qquad \ \ (ii)}$

Desenvolvendo $\displaystyle \mathtt{(ii)}$,

$\\ \displaystyle \mathsf{25^2 = (25 - y)^2 + h^2} \\\\ \mathsf{625 = 625 - 50y + y^2 + h^2} \\\\ \mathsf{50y = \underbrace{\mathsf{y^2 + h^2}}_{(i)}} \\\\ \mathsf{50y = 30^2} \\\\ \mathsf{50y = 900} \\\\ \boxed{\mathsf{y = 18 \, cm}}$

Por fim,

$\\ \displaystyle \mathsf{y^2 + h^2 = 30^2} \\\\ \mathsf{h^2 = 900 - 18^2} \\\\ \mathsf{h^2 = 900 - 324} \\\\ \mathsf{h^2 = 576} \\\\ \mathsf{h^2 = 24^2} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{h = 24 \, cm}}}$