Question

Em um tetraedro trirretângulo, uma das arestas do triedro trirretângulo mede a, e as outras duas, a√2. Obter a área total e o volume.

Resposta: AT= a² (1 + 2√2) ; V = a³/3

Answer 1

A(t) = La * Lb * sen(θ) / 2

A(t) ⇒ Área do triângulo;
La e Lb ⇒ Lados do triângulo;
θ ⇒ Ângulo entre La e Lb...

V(tetra) = Ab(tetra) * H(tetra) / 3

V(tetra) ⇒ Volume do tetraedro;
Ab(tetra) ⇒ Área da base do tetraedro;
H(tetra) ⇒ Altura do tetraedro...

At = Ab + S(Al)
At ⇒ Área total;
Ab ⇒ Área da base;
S(Al) ⇒ Soma das áreas laterais...
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Observe os anexos !

Eu fiz desse jeito, não sei se está certo, mas se puder dar uma conferida depois...

No primeiro anexo, temos uma esquematização do tetraedro, com o triedro parcialmente mostrado. Por consequência desse triedro, temos :

→ Duas faces laterais como triângulos retângulos (a vermelha e a azul, como pode-se ver no anexo 2);

→ A base do tetraedro também como triângulo retângulo, que no caso é isósceles (os catetos medindo a*√2);

→ A aresta azul da base é, na verdade, a rotação ortogonal da aresta vermelha da base; 

→ Uma das arestas laterais perpendicular à base, sendo que esta mede a...

Como a aresta que mede a é perpendicular ao plano da base, então ela é também a altura H do tetraedro (relativa à base amarela-azul-vermelha).

No anexo 3, temos o esquema da base desse tetraedro. Vamos calcular a área dessa base (Ab) :

A base é um triângulo retângulo isósceles.
Logo, as duas medidas a*√2 são perpendiculares e podemos usar Ab = (a*√2 * a*√2) / 2 porque sen(90°) = 1...

Ab = (a*√2 * a*√2) / 2

Ab = a² * 2 / 2

Ab = a² ⇒ Área da base do tetraedro !

Logo, sendo ⇒

Ab(tetra) = a² e H(tetra) = a :

V(tetra) = a² * a / 3

V(tetra) = a³ / 3 ⇒ Volume do tetraedro !

...

Agora, calculando as áreas laterais :

Primeiro, calculemos as áreas das faces azul e vermelha :

Veja, no anexo 2, que essas faces têm catetos de mesma medida, logo, são áreas iguais :

A(vermelha) = A(azul)

Sendo, para ambos, catetos = a*√2 e a (seno do ângulo entre eles = 1)

A(vermelha) = a√2 * a / 2

A(vermelha) = a² * √2 / 2 e por consequência :

A(azul) = a² * √2 / 2...

Também calculemos as suas hipotenusas, que são iguais, por Pitágoras :

Hip(vermelha)² = (a*√2)² + a²

Hip(vermelha)² = 2*a² + a²

Hip(vermelha)² = 3*a² ⇒ Aplicando raiz quadrada :

Hip(vermelha) = a * √3 e por consequência Hip(azul) = a * √3...
 
(descarta-se todas as combinações de raízes negativas...).

...

Olhe de novo o anexo 3. Vamos calcular a base da face amarela, que é a hipotenusa da face da base.

b(amarela)² = (a*√2)² + (a*√2)²

b(amarela)² = 2 * (a*√2)² ⇒ Aplicando raiz quadrada :

b(amarela) = √2 * a * √2

(descarta-se todas as combinações de raízes negativas...)

b(amarela) = 2 * a  ⇒ Base da face amarela !

Agora, veja como é a base amarela no anexo 2. Temos, para ela :

→ Arestas iguais de lado = a*√3 (hipotenusas vermelha e azul);
→ Base dessa face = 2 * a (hipotenusa da base do tetraedro).

Veja que tracei a mediana da base dessa face, que divide a base da face em 2 e, sendo um triângulo isósceles, também forma 90° com essa base. logo, a mediana é a altura dessa base.

Seja o triângulo retângulo formado por :

→ Catetos : Base amarela / 2 e altura da face amarela;
→ Hipotenusa : Hipotenusas vermelha ou azul (mesma medida).

Aplicando Pitágoras, temos :

(a*√3)² = (2*a/2)² + h(amarela)²
 
(a*√3)² = a² + h(amarela)²

3*a² = a² + h(amarela)²

3*a² - a² = h(amarela)²

h(amarela)² =2*a² ⇒ Aplicando raiz quadrada :

h(amarela) = a*√2 ⇒ Altura da face amarela relativa à base 2*a !

(descarta-se todas as combinações de raízes negativas...)

Logo, para a a área da face amarela (A(amarela)), temos :

→ Base = 2*a;
→ Altura = a*√2...

A base e a altura formam 90° ! (sen(90°) = 1)

A(amarela) = 2*a * a*√2 / 2

A(amarela) = a² * √2 ⇒ Área da face amarela !

...

Temos, para as áreas das faces desse tetraedro :

A(vermelha) = A(azul) = a² * √2 / 2;
A(amarela) = a² * √2...

Logo, a soma das áreas laterais (S(Al)) é :

S(Al) = a² * √2 / 2 + a² * √2 / 2 + a² * √2

S(Al) = a² * √2 + a² * √2

S(Al) = 2*a² *√2 ⇒ Soma das faces laterais !

Como a área da base é Ab = a², então, para a área total (At) :

At = a² + 2*a² *√2  ⇒ Deixando 'a²' em evidência :

At = a² * (1 + 2*√2) ⇒ Área total do tetraedro !