Em um poliedro regular convexo, o número de arestas é 50% maior que o número de vértices. Se a soma dos números de vértices, arestas e faces é igual a 14, determine quantas faces e quantas arestas tem esse poliedro.
Soluções para a tarefa
Resposta:
4
Explicação passo a passo:
I. A = 1,5V
II. V + A + F = 14 ⇒ V + F = 14 - A
III. Relação de Euler: V + F = A + 2 ⇒ 14 - A = A + 2 ⇒ 2A = 12 ⇒A = 6
IV. A = 1,5V ⇒ V = 4
V. V + A + F = 14 ⇒ 4 + 6 + F = 14 ⇒ F = 4
Logo, o poliedro tem 4 faces.
O poliedro possui 4 faces e 6 arestas.
Essa questão trata sobre figuras geométricas espaciais.
O que são figuras geométricas espaciais?
Figuras geométricas espaciais são formadas por polígonos, sendo denominados poliedros. Assim, essas figuras possuem vértices (pontos), arestas (segmentos de reta) que conectam os vértices, e faces (planos delimitados pelos segmentos de reta).
Para todo poliedro convexo, a relação de Euler determina que Vértices + Faces = Arestas + 2.
Com isso, foi informado que o número de A de arestas é 50% maior que o número V de vértices. Portanto, A = 1,5V.
Assim, obtemos as equações:
- A + V + F = 14
- V + F = A + 2
Substituindo o valor de A por 1,5V nas equações, temos:
- 1,5V + V + F = 14
- V + F = 1,5V + 2
Desenvolvendo o sistema, temos:
- Isolando F na segunda equação, temos que F = 0,5V + 2;
- Aplicando o valor de F na primeira equação, temos que 2,5V + 0,5V + 2 = 14;
Portanto, 3V = 12; - Assim, V = 12/3 = 4;
- Com isso, F = 0,5*4 + 2 = 2 + 2 = 4;
- Por fim, 4 + 4 = A + 2, ou A = 6.
Assim, concluímos que o poliedro possui 4 faces e 6 arestas.
Para aprender mais sobre figuras geométricas espaciais, acesse:
brainly.com.br/tarefa/44148804
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