Question

Em um losango ABCD do plano cartesiano, tem-se B(1,6) e a diagonal AC contida na reta de equação y=x+3. Determine as coordenadas do vértice D.

Answer 1

As coordenadas do vértice D são (3,4).

Se B = (1,6) é um dos vértices do losango e a diagonal AC está contida na reta de equação y = x + 3, então a distância entre a reta e o ponto B tem que ser igual à distância do ponto D a essa reta.

Mais precisamente, temos que o ponto D é simétrico ao ponto B em relação à reta y = x + 3.

Calculando a distância entre o ponto B e a reta -x + y = 3, obtemos:

$d=\frac{|(-1).1 + 1.6 - 3|}{\sqrt{(-1)^2+1^2}}$

d = 2/√2

d = √2.

Então, a distância do vértice D à reta -x + y = 3 também será √2.

Da reta -x + y = 3, temos que o vetor u = (-1,1) é perpendicular a ela.

Então, esse vetor será paralelo à reta que contém a diagonal BD.

Assim, as equações paramétricas da reta que contém a diagonal BD são:

{x = 1 - t

{y = 6 + t

Ou seja, o ponto D é da forma (1 - t, 6 + t).

Daí, temos que:

$\sqrt{2}=\frac{|(-1).(1-t)+1.(6+t)-3}{\sqrt{2}}$

2 = |-1 + t + 6 + t - 3|

2 = |2t + 2|

2t + 2 = 2 ou 2t + 2 = -2

t = 0 ou t = -2.

Se t = 0, obteremos o ponto B.

Se t = -2, temos que D = (3,4).