Question

Em um congresso comparecem 15 professores, dos quais 4 lecionam matemática. Quantas comissões de 5 membros podemos formar de modo que em cada uma compareça pelo menos um professor de matemática?

Answer 1

Olá Everton

1 professor de matemática      N1  =  C(4,1)*C(11,4) = 1320
2 professores de matemática N2 =  C(4,2)*C(11,3) = 990
3 professores de matemática N3 =  C(4,3)*C(11,2) = 220
4 professores de matemática N4 =  C(4,4)*C(11,1) =      11

total N = 1320 + 990 + 220 + 11 = 2541 

Answer 2

Vamos lá: o total de comissões que podemos formar é combinação de 15 tomados 5 a 5. Entretanto, queremos uma comissão que tenha pelo MENOS um professor. Ou seja, pode ter um, dois, três e até quatro.

Assim, nossa condição só será satisfeita se tirarmos as possibilidades que não tenham nenhum professor de matemática. Ou seja, 15-4 = 11 professores tomados 5 a 5.

$C_{15,5}-C_{11,5} \\\\ \dfrac{15!}{10! \cdot 5!}-\dfrac{11!}{6! \cdot 5!} \\\\\\ \dfrac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10!}{10! \cdot 5!}-\dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 5!} \\\\\\ \dfrac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5!}-\dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5!} \\\\\\ \dfrac{360360-55440}{120} = \boxed{\boxed{2541}}$

Há 2541 modos de formar essa comissão.