Question

Em relação à hipérbole de equação x2−3y2=12, assinale a alternativa falsa:
Escolha uma:
a. seu eixo real mede 43–√
b. as equações das assíntotas são: ±3–√x−3y=0
c. sua excentricidade é 3–√
d. sua distância focal mede 8.
e. seu eixo imaginário mede 4

Answer 1

Primeiro, colocá-la-emos na forma padrão, dividindo por 12. Assim:
$\frac{ {x}^{2} }{12} - \frac{ {y}^{2} }{4} = 1$
Da análise desta, obtemos que:
${a}^{2} = 12 = > a = 2 \sqrt{3} \\ {b}^{2} = 4 = > b = 2 \\ {a}^{2} + {b}^{2} = {c}^{2} = > {c}^{2} = 16 \\ c = 4$
Logo, 2c=8 e 2b=4; afirmações "d" e "e" corretas.
O eixo real mede 2a=4V3; aparentemente "a" está correta também
A excentricidade é dada por c/a, então:
$\frac{4}{2 \sqrt{3} } \times \frac{2 \sqrt{3} }{2 \sqrt{3} } = \frac{8 \sqrt{3} }{12} = \frac{2 \sqrt{3} }{3}$
O que, ao que parece, é diferente da afirmação "c". Vejamos a última.
As assíntotas são y=+-bx/a; então:
$y = + - \frac{2x}{2 \sqrt{3} } = \frac{2 \sqrt{3} x}{6} = + - \frac{ \sqrt{3}x }{3}$
Confirmando a afirmação "b", já que podemos escrever:
$y = + - \frac{ \sqrt{3}x }{3} \\ + - \sqrt{3} x - 3y = 0$
Portanto, a letra "c" é a afirmação falsa.
Espero ter ajudado!!!