Question

Em qualquer ponto (x, y) de uma curva, $\frac{d^{3}y}{dx^{3}}=2$e (1,3) é um ponto de inflexão no qual a inclinação da reta tangente de inflexão é -2. Ache uma equação da curva.​​

Answer 1

Comecemos por analizar os dados que temos.

$\dfrac{dy^3}{dx^3}=2\;\;\;\;\longrightarrow\;\;\;\;Vamos\;primitivar\;at\acute e\;chegar\;\grave a\;fun\d c\tilde ao\;inicial$

$(1;3)\;\acute e\;Ponto\;de\;Inflex\tilde ao\;\;\;\longrightarrow\;\;\;\dfrac{dy^2}{dx^2}=0,\;quando\;x=1$

$(1;3)\;\acute e\;Ponto\;de\;Inflex\tilde ao\;\;\;\longrightarrow\;\;\;(1;3)\;\acute e\;ponto\;do\;gr\acute afico\;da\;fun\d c\tilde ao$

$Inclina\d c\tilde ao\;da\;tangente\;em\;(1;3)=-2\;\;\;\longrightarrow\;\;\;\dfrac{dy}{dx}=-2,\;quando\;x=1$

Com todos estes dados resta-nos relembrar algumas regras mais básicas de primitivação:

• $\displaystyle\int{a}\;dx=ax+C$

• $\displaystyle\int f^m \times f'\;dx=\dfrac{f^{m+1}}{m+1}+C\;,\;m\in\mathbb{R}\backslash\{-1\}$

• $\displaystyle\int \dfrac{f'}{f}\;dx=\ln|f|+C$

Com tudo isto em mente, resolvamos agora o exercício.

• Determinação da expressão da 2ª derivada

    $\dfrac{dy^2}{dx^2}=\displaystyle\int{\dfrac{dy^3}{dx^3}}\;dx\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{dy^2}{dx^2}=\displaystyle\int{2}\;dx\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{dy^2}{dx^2}=2x+C$

Para  $x=1$  temos que:

    $\dfrac{dy^2}{dx^2}=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow2\times1+C=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow2+C=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow C=-2$

Logo, conclui-se que   $\dfrac{dy^2}{dx^2}=2x-2$

• Determinação da expressão da 1ª derivada

    $\dfrac{dy}{dx}=\displaystyle\int{\dfrac{dy^2}{dx^2}}\;dx\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{dy}{dx}=\displaystyle\int{(2x-2)}\;dx\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{dy}{dx}=x^2-2x+C$

Para  $x=1$  temos que:

    $\dfrac{dy}{dx}=-2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow1^2-2\times1+C=-2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow1-2+C=-2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow-1+C=-2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow C=-1$

Logo, conclui-se que   $\dfrac{dy}{dx}=x^2-2x-1$

• Determinação da expressão da função em estudo

    $f(x)=\displaystyle\int{\dfrac{dy}{dx}}\;dx\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(x)=\displaystyle\int{(x^2-2x-1)}\;dx\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2-x+C$

Para  $x=1$  temos que:

    $f(1)=3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{1^3}{3}-1^2-1+C=3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{3} - 1 - 1 + C = 3 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}-2+C=3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}-\dfrac{6}{3}+C=\dfrac{9}{3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{-5}{3}+C=\dfrac{9}{3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow C=\dfrac{9}{3}+\dfrac{5}{3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow C=\dfrac{14}{3}$

Conclui-se assim que a função em estudo é definida por:

$f(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2-x+\dfrac{14}{3}$

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