Question

Em quais pontos a parábola de vértice V = (4, 3) e foco F = (2, 3) intercepta
os eixos Ox e Oy do plano cartesiano?
Determine uma equação da diretriz e esboce o gráfco dessa parábola.

Answer 1

Temos o vértice no ponto V = (4,3) e foco no ponto F = (2,3).  Perceba que o foco está a direita do vértice, isso implico numa Parábola com eixo de simetria na horizontal virada para esquerda.

Então a equação da parábola vai ser do da forma :

$(\text y-\text y_\text v)^2 =-2\text p (\text x-\text x_\text v) \\\\ \underline{\text{substituindo os valores do v{\'e}rtice}}: \\\\( \text y -3 )^2 = -2\text p(\text x-4)$

Sabemos que p é a distância do Foco até a reta diretriz e sabemos que a distância do vértice até o foco vale p/2, então vamos fazendo distância entre o foco e o vértice igualando a p/2 :

$\displaystyle \frac{\text p}{2}=\sqrt{(\text x_\text v-\text x_\text F)^2+(\text y_\text v-\text y_\text F)^2} \\\\\\ \frac{\text p}{2} =\sqrt{(4-2)^2+(3-3)^2}\\\\\\\ \frac{\text p}{2}=\sqrt{2^2+0} \to \frac{\text p}{2} = 2 \\\\ \boxed{\text p = 4}$

Portanto a equação da parábola será :

$( \text y -3 )^2 = -2\text .4(\text x-4) \\\\\\\ \huge\boxed{\ ( \text y -3 )^2 = -8\text x+32 \ }\checkmark$

A questão pede os pontos onde a parábola intercepta os eixos Ox e Oy.

Eixo 0y :

$\text{x = 0} \\\\ \therefore\\\\ (\text y-3)^2=-8.0+32 \\\\ \text y-3 = \pm\sqrt{32}\to \text y-3=\pm\sqrt{16.2} \\\\ \text y = 3\pm4\sqrt{2}\\\\\ \underline{\text{intercepta o eixo Oy nos pontos}}: \\\\ \huge\boxed{\text y_1= 3+4\sqrt{2}\ \approx 8,65\ }\checkmark \\\\\\ \huge\boxed{\text y_2 = 3-4\sqrt{2} \ \approx \ -2,65}\checkmark$

Eixo 0x :

$\displaystyle \text y = 0 \\\\ \therefore \\\\ (0-3)^2=-8\text x+32 \\\\ -8\text x+32=9 \\\\ 8\text x = 23 \\\\ \underline{\text{intercepta o eixo 0x no ponto}}:\\\\\ \huge\boxed{\text x = \frac{23}{8}\ \approx 2,87\ } \checkmark$

Reta diretriz :

A reta diretriz é perpendicular ao eixo x, ou seja, será uma reta que passa somente num ponto em x.

Sabemos que a equação da reta diretriz para esse caso de parábola é do tipo :

$\displaystyle \text d : \text x = \text x_\text v + \frac{\text p}{2} \\\\ \text d : \text x = 4+\frac{4}{2} \\\\ \huge\boxed{\text {reta diretriz}: \text x = 6} \ }\checkmark$