Question

É dada a função horaria do MRUV de uma partícula, s = -24 + 16t - t²(SI). Determine: 

a) A posição inicial a velocidade inicial, a aceleração da partícula e a classificação desse movimento para t0 = 0;

b) A velocidade e a posição da partícula no instante t= 5s;

c) O (s) instante (s) em que a partícula passa pela origem das posições.

mostre o raciocínio que você seguiu!

Answer 1

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A equação horária dos espaços no movimento uniformemente variado (MUV) é

$\mathsf{s=s_0+v_0 t+\dfrac{1}{2}\,at^2}$


e a equação horária da velocidade é

$\mathsf{v=v_0+at}$


onde

•  $\mathsf{s_0}$  é o espaço inicial;

•  $\mathsf{v_0}$  é a velocidade inicial;

•  $\mathsf{a}$  é a aceleração (constante).

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Para esta questão, a equação horária dos espaços é

$\mathsf{s=-24+16t-t^2}$


a)  Comparando os coeficientes desta equação com a forma padrão da equação horária dos espaços no MUV, tiramos que

•  o espaço inicial é  $\mathsf{s_0=-24~m;}$

•  a velocidade inicial da partícula é  $\mathsf{v_0=16~m/s;}$

•  a aceleração  $\mathsf{a}$  é obtida pela relação:

$\mathsf{\dfrac{1}{2}\,a=-1}\\\\\\ \mathsf{a=-1\cdot 2}\\\\ \mathsf{a=-2~m/s^2.}$


•  Classificação do movimento no instante inicial:  movimento progressivo retardado.

No instante inicial, a velocidade é positiva igual a 16 m/s, caracterizando movimento progressivo, mas a aceleração é constantemente negativa. Como os sinais da velocidade e da aceleração são opostos temos um movimento retardado.

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b)  Equação horária da velocidade:

$\mathsf{v=v_0+at}\\\\ \mathsf{v=16-2t}$


A velocidade da partícula no instante  $\mathsf{t=5~s:}$

$\mathsf{v\big|_{t=5}=16-2\cdot 5}\\\\ \mathsf{v\big|_{t=5}=16-10}\\\\ \mathsf{v\big|_{t=5}=6~m/s}\quad\longleftarrow\quad\textsf{velocidade em }\mathsf{t=5~s.}$


A posição da partícula no instante  $\mathsf{t=5~s:}$

$\mathsf{s\big|_{t=5}=-24+16\cdot 5-5^2}\\\\ \mathsf{s\big|_{t=5}=-24+80-25}\\\\ \mathsf{s\big|_{t=5}=31~m}\quad\longleftarrow\quad\textsf{posi\c{c}\~ao em }\mathsf{t=5~s.}$

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c)  Para encontrar o instante em que a partícula passa pela origem das posições, basta resolver a equação

$\mathsf{s=0}\\\\ \mathsf{-24+16t-t^2=0}\\\\ \mathsf{-t^2+16t-24=0}\quad\longrightarrow\quad \left\{\!\begin{array}{l}\mathsf{a=-1}\\\mathsf{b=16}\\\mathsf{c=-24}\end{array}\right.$


$\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=16^2-4\cdot (-1)\cdot (-24)}\\\\ \mathsf{\Delta=256-96}\\\\ \mathsf{\Delta=160}\\\\ \mathsf{\Delta=2^4\cdot 2\cdot 5}\\\\ \mathsf{\Delta=(2^2)^2\cdot 10}$


$\mathsf{t=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-16\pm\sqrt{(2^2)^2\cdot 10}}{2\cdot (-1)}}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-16\pm 2^2\sqrt{10}}{2\cdot (-1)}}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-16\pm 4\sqrt{10}}{2\cdot (-1)}}$

$\mathsf{t=\dfrac{-\diagup\hspace{-7}2\cdot (8\mp 2\sqrt{10})}{-\diagup\hspace{-7}2}}\\\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{t=8-2\sqrt{10}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{t=8+2\sqrt{10}}\\\\ \mathsf{t\approx 1,\!68~s}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{t\approx 14,\!33~s} \end{array}$


A partícula passa pela origem dos espaços aproximadamente nos instantes $\mathsf{t=1,\!68~s}$  e  $\mathsf{t=14,\!33~s.}$


Bons estudos! :-)


Tags:  equação horária posição espaço velocidade aceleração movimento uniformemente variado muv cinemática mecânica