Question

Dúvida em arcos duplos:a) prove que 2(sen y + sen x).(sen y - sen x) =Dúvida em arcos duplos:

a) prove que 2(sen y + sen x).(sen y - sen x) = cos 2x - cos 2y.
b)Mostre que, se sen x + cos x = m, então sen 2x = m² - 1.

Answer 1

a) $2(seny+senx).(seny-senx)=cos2x-cos2y$

Calculamos o produto da soma pela diferença: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$2(sen^2y-sen^2x)=cos2x-cos2y$

$2sen^2y-2sen^2x=cos2x-cos2y$

Usamos a igualdade $sen^2x+cos^2x=1$, onde $sen^2x=1-cos^2x$

$2(1-cos^2y)-2(1-cos^2x)=cos2x-cos2y$

$2-2cos^2y-2+2cos^2x=cos2x-cos2y$

$-2cos^2y+2cos^2x=cos2x-cos2y$

$2cos^2x-2cos^2y=cos2x-cos2y$

Usaremos a igualdade 

$cos(x+x)=cos2x=cosx.cosx-senx.senx=cos^2x-sen^2x$

$cos2x=cos^2x-sen^2x$

Usando a igualdade $sen^2x=1-cos^2x$

$cos2x=cos^2x-(1-cos^2x)=cos^2x-1+cos^2x=-1+2cos^2x$

$cos2x=-1+2cos^2x$

$cos2x+1=2cos^2x$

$2cos^2x=cos2x+1$

Agora voltando ao problema, usando a igualdade acima

$2cos^2x-2cos^2y=cos2x-cos2y$

$cos2x+1-(cos2y+1)=cos2x-cos2y$

$cos2x+1-cos2y-1=cos2x-cos2y$

$cos2x-cos2y=cos2x-cos2y$

Provando assim a igualdade.

b) $senx+cosx=m$

Sabemos que 

$sen(x+x)=sen2x=senx.cosx+senx.cosx=2.senx.cosx$

$sen2x=2.senx.cosx$

Agora voltamos ao que foi dado:

$senx+cosx=m$

Elevamos ambos os lados ao quadrado. Assim:

$(senx+cosx)^2=m^2$

$sen^2x+2.senx.cosx+cos^2x=m^2$

$sen^2x+cos^2x+2.senx.cosx=m^2$

Usamos a identidade $sen^2x+cos^2x=1$

$1+2.senx.cosx=m^2$

$2.senx.cosx=m^2-1$

Ficando provado ao igualdade apresentada.