Question

Durante várias semanas, o departamento de trânsito vem registrando a velocidade dos veículos que
passam em um certo quarteirão. Os resultados mostram que entre 13h e 18h de um dia de semana, a velocidade nesse quarteirão é dada aproximadamente por V(t) = t³- 10,5t² + 30t quilômetros por hora, onde t
é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante entre 13h e 18h em que o trânsito é mais rápido? Qual o instante em que o trânsito é mais lento? Quero a resolução utilizando derivadas, por favor.

Answer 1

Derivando a função V(t)

$V(t)=t^3-10,5t^2+30t\\ \\ \boxed{V'(t)=3t^2-21t+30}\\ \\ Fazendo \ V'(t)=0\\ \\ 3t^2-21t+30=0\\ \\ S=\{2,5\}$

Isto significa que nos instantes 2 e 5 horas, a partir das 13 hs o trânsito assume os valores de máximo e de mínimo.

Vamos determinar a derivada segunda de V(t)

$V'(t)=3t^2-21t+30\\ \\ V"(t)=6t-21\\ \\ Calculando, \\ \\ V"(2)=-9\\ \\ V"(5)=9$

Isto significa que 2 horas depois das 13 hs (15 hs) o tráfego é o mais rápido e 5 hs após as 13 hs (18 hs) o tráfego é mais lento.

Answer 2

A velocidade é máxima no horário das 15 horas e mínima no horário das 18 horas.

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

• Podemos identificar os pontos críticos utilizando o teste da primeira derivada;
• Podemos identificar os pontos de máximo e mínimo utilizando o teste da segunda derivada;

Com essas informações,  calculando os pontos críticos, temos:

V'(t) = 3t² - 21t + 30 = 0

Pela fórmula de Bhaskara, encontramos as raízes sendo 2 e 5.

Calculando a segunda derivada:

V''(t) = 6t - 21

Para os pontos críticos, temos:

V''(2) = 6.2 - 21 = -9 (menor que zero, ponto de máximo)

V''(5) = 6.5 - 21 = 9 (maior que zero, ponto de mínimo)

Logo, as 15 horas o transito é mais rápido e as 18 horas o transito é mais lento.

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