Question

Duas partículas se movem ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por x = 6,00t²+3,00t+2,00, onde x está em metros e t em segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por a = 8,00t, onde a está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. No instante t = 0 a velocidade é de 20 m/s. Em que instante as duas partículas têm a mesma velocidade?

Answer 1

Vamos lá:

Partícula 01:

$x=6t^2+3t+2$

Partícula 02:

$V_0=20 m/s\\a=-8t$
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Questão pede o instante em que:

$V_1=V_2$
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Partícula 01:

$x=6t^2+3t+2\\a=-8t$

$V_1=\frac{d}{dt}\left(x\right)=\frac{d}{dt}\left(6t^2+3t+2)=12t+3$

$V_1=12t+3$
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Partícula 02:

$a_2=\frac{d}{dt}\left(v\right)\\-8t=\frac{d}{dt}\left(v\right)\\dv=-8t\:dt\\\int _{v_0}^{v_2}\:dv=\int _{v_0}^{v_2}\:-8t\:dt\\V_2-V_0=-8\cdot \frac{t^2-t_0^2}{2}\\V_2-20=-8\cdot \frac{t^2}{2}\\V_2=-\frac{8t^2} {2}+20\\V_2=-4t^2+20$
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$V_1=V_2\\12t+3=-4t^2+20\\4t^2+12t-17=0\\\\t'=1,04\\t''=-4,04\:\:nao\:existe$

Resposta: Tempo é 1,04 seg.
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Espero ter ajudado!